北京市海淀区北师特学校高三第四次月考-理科数学
北师特学校第一学期第四次月考理科数学试题一、选择题:本大题共小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的1、已知集合,,则=( )A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】,因此,选D2、已知复数,则的虚部为( )A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由得,设,则,因此,解得,因此虚部为1,选A、已知一种几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为,等腰三角形的腰长为,则该几何体的体积是 ( )A B. . D.【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体上部分是一种圆锥,下部分是个半球,球半径为,圆锥的高为,因此圆锥的体积为,半球的体积为,因此几何体的总体积为,选4、方程的曲线是 ( )一种点 B一条直线 C两条直线 D.一种点和一条直线【答案】C【解析】由得,即,为两条直线,选.、已知正项数列中,,,则等于(A) (B)8 (C) (D)4【答案】D【解析】由可知数列是等差数列,且觉得首项,公差,因此数列的通项公式为,因此,即。选.、已知双曲线,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点,为坐标原点.若,则双曲线的离心率为(A) (B) () (D)【答案】 【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形,因此,因此点,代入双曲线方程,当时,得,因此由,的,即,因此,解得离心率,选D. 7、外接圆的半径为,圆心为,且, ,则等于 (A) (B) (C) (D)【答案】【解析】由得,因此,即时的中点,所觉得外接圆的直径,。则,由于,所觉得正三角形,因此,且,因此,选C.、定义在上的函数,则的图像与直线的交点为、且,则下列说法错误的是( )A、 B、 、 D、【答案】D【解析】由,得,解得或,当时。又,因此,因此 ,因此D错误,选二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共3分。、已知点在不等式组表达的平面区域内,则点到直线距离的最大值为_.【答案】【解析】由于点可行域内,因此做出可行域,由图象可知当当点位于直线时,即,此时点P到直线的距离最大为。10、在中,若,则 【答案】【解析】根据正弦定理可得,即,解得,由于,因此,因此,因此。11、如图,是半径为的圆的直径,点 在的延长线上,是圆的切线,点在直径上的射影是的中点,则 ; .【答案】【解析】点A在直径B上的射影E是OC的中点,可得,因此,在中,,因此由切割线定理可得。12、已知若的最大值为8,则k=_【答案】【解析】做出的图象。由于的最大值为8,因此此时,阐明此时直线通过区域内截距做大的点,即直线也通过点。由,解得,即,代入直线得,。13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字9中的一种),去掉一种最高分和一种最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为,则的大小关系是_(填,,) 【答案】【解析】去掉一种最高分和一种最低分后,甲乙均有组数据,此时甲乙的平均数为,,因此。14、对任意,函数满足,设,数列的前15项的和为,则 【答案】 【解析】由于,因此,,即。两边平方得,即,即,即,即数列的任意两项之和为,因此,即。因此,解得或(舍去)。三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字阐明,演算环节或证明过程。1、(本小题共13分)已知,.()求的值;()求函数的值域16、(本小题共13分)如图所示,正方形与矩形所在平面互相垂直,点E为的中点。()求证: () 求证:()在线段B上与否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请阐明理由。17、(本小题共13分)数列中,且满足(1)求数列的通项公式;(2)设,求18、(本小题共13分)已知函数().()求函数的单调区间;()函数的图像在处的切线的斜率为若函数,在区间(1,3)上不是单调函数,求 的取值范畴。19、(本小题共1分)已知椭圆:,左焦点,且离心率()求椭圆的方程;()若直线与椭圆交于不同的两点(不是左、右顶点),且觉得直径的圆通过椭圆C的右顶点A求证:直线过定点,并求出定点的坐标.0、(本小题共14分)在单调递增数列中,不等式对任意都成立.()求的取值范畴;()判断数列能否为等比数列?阐明理由;()设,求证:对任意的,.参照答案:一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的12345678DAADDCD二、填空题(每题5分,共30分)9、_;10、_;11、_;12、_;3、_;14、_;三、解答题15、(共1分)解:()由于,且,因此,.由于 .因此. 6分 ()由()可得. 因此 , 由于,因此,当时,取最大值; 当时,取最小值. 因此函数的值域为 13分16、() , 点E为的中点,连接。的中位线 /分又 分(I) 正方形中, 由已知可得:, .分, .7分 .8分()由题意可得:,以点D为原点,A,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则, 9分 设 0分设平面的法向量为则 得 11分取是平面的一种法向量,而平面的一种法向量为 12分要使二面角的大小为 而 解得:当=时,二面角的大小为 1分17、解:(1)为常数列,n是觉得首项的等差数列,设,,.(2),令,得.当时,;当时,;当时,.当时,,当时,.18解:(I) 2分当 即 (x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(, 4分当 ,即 f()的单调递增区间为(,,单调递减区间为(0,)分(I)得 8分+3 分 10分 1分分 即: 13分19解:()由题意可知: 1分 解得 2分因此椭圆的方程为: 分(I)证明:由方程组 4分整顿得 .5分设则 .6分由已知,且椭圆的右顶点为 7分 8分 即也即 0分整顿得: 1分解得均满足 12分当时,直线的方程为,过定点(2,0)与题意矛盾舍去分当时,直线的方程为,过定点 故直线过定点,且定点的坐标为 14分2、(共14分)()解:由于是单调递增数列,因此,.令,,因此 4分 ()证明:数列不能为等比数列.用反证法证明:假设数列是公比为的等比数列,,.由于单调递增,因此.由于,都成立.因此, 由于,因此,使得当时,.由于因此,当时,,与矛盾,故假设不成立.9分()证明:观测: ,猜想:.用数学归纳法证明:()当时,成立;()假设当时,成立;当时, 因此 根据(1)()可知,对任意,均有,即.由已知得,.因此.因此当时,. 由于.因此对任意,.对任意,存在,使得,由于数列单调递增,因此,.由于,因此 1分