【教案】数系的扩充和复数的概念说课稿-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、7.1.1 数系的扩充和复数的概念教学设计(说课稿)一、教材分析（一）教材编写意图本节从章引言“实系数一元二次方程当0 时，在实数集范围内没有实数根 ” 出发， 引出数集扩充问题， 从而介绍复数的相关概念。通过本节的学习， 侧重提 升学生的数学抽象、逻辑推理素养；并为后续学习复数的四则运算打下基础，提 升学生的数学运算素养。（二）本节的地位和作用本节选自高一新教材人教 A 版必修第二册的第七章复数，复数属于新课 程标准中必修课程的五个主题之一“几何与代数 ”，其引入是中学阶段数 集的最后一次扩充， 旨在促使高中生对数的概念有一个初步且完整的认识， 也给 高中生运用数学知识解决问题增添新的工具。本节课的学习， 一方面让学生回顾数集扩充的过程， 体会虚数引入的必要性 和合理性；另一方面， 让学生理解复数的有关概念， 掌握两复数相等的充要条件， 为今后学习复数的几何意义、四则运算及三角表示做好铺垫。因此， 本节是该章 的基础课、起始课，具有承前启后的作用。（三）本节在新旧课标中的学业水平要求新课标旧课标1.通过方程的解， 认识复数。2.理解复数的代数 表示，理解两个复 数相等的含义。1.在问

2、题情境中了解数集的扩充过程， 体会实际需求与数学 内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数集扩充过程中的 作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 3.了解复数的代数表示法。新旧课标区别：新课标把复数内容从选修变为必修，强调了该部分知识的必要性。对数集的扩充过程， 新课标只是通过方程的解来引入复数。但其教学提示也 指出可以适当融入数学文化，让学生体会数集扩充过程中理性思维的作用。新课标中对复数的代数表示式的要求提高，由了解变为理解。二、学情分析我所教高一学生已经历一学期高中生活， 大部分数学学习态度端正， 求知欲 望强，上课认真听讲，作业按时完成，但仍然缺乏一定的主动性。学习本节之前， 学生对数的概念已经扩充到实数， 也已经清楚各种数集之间 的包含关系等内容， 但知识是零碎、分散的， 对数的生成发展的历史和规律缺乏 整体认识与理性思考， 知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认 为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。因为生活中很少触及复数概念，对于新引入的数i，对于高一学生可能 难以接受和理解， 对学生来说是一大跨越。

3、这既是本节课教学中的挑战， 也是可 利用的有利因素。三、教学目标依据新课标要求、学生已有知识及可接受水平，制定如下教学目标: 1.了解引入复数的必要性；了解数集的扩充过程；理解复数的概念；理解复数相等的充要条件；理解复数的代数表示式。2.感受数集扩充过程中人类理性思维的作用， 提升数学抽象、逻辑推理素养， 领悟分类讨论、等价转化、类比等数学思想方法。经历观察、思考、推理等数学活动， 体验知识的形成过程， 积累探究性经验。3.提高数学学习兴趣，拓宽数学视野，认识数学的科学、应用与文化价值， 增强探索精神。四、教学重难点（一）重点难点确定依据：以新课标为基准，结合教材内容确定本节重点；结合学生学情确 定本节难点：教学重点：1.数集的扩充过程。2.复数的概念，复数的分类，复数相等的充要条件。教学难点：1.复数集扩充过程的数学基本思想。2.复数的代数表示式。（二）重难点应对策略针对重点， 我从“最近发展区 ”出发， 发挥“先行组织者 ”的作用， 采用问 题驱动式教学模式，让学生形成认知冲突；引领学生追溯历史，提炼数集扩充的 原则；帮助学生合乎情理地建立新的认知结构，让数学概念自然诞生在学生的思

4、 想中。针对难点，我采用如下突破策略：1.适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性。2.通过解方程问题引导， 借助已有的数集扩充的经验， 特别是从有理数集扩 充到实数集的经验， 从特殊到一般， 帮助学生梳理出数集扩充过程中体现的“规 则 ”，进而在“规则 ”的引导下进行从实数集到复数集的扩充，感受引入复数的 必要性和合理性。3.引导学生按照“规则 ”自主探究出复数集中可能存在的各种数， 并归纳总 结出复数的一般表示方法，经历复数形式化、符号化的过程。教学说做一体化从而突出重点、突破难点。五、教法与学法（一）教法依据教学目标， 为提高教学效率， 我以讲授法为主， 多采用问题驱动式教学， 引导学生积极思考。以讨论法、演示法、练习法、发现法为辅， 采用多种教学方 法融合。（二）学法根据班杜拉的社会学习理论， 引入环节让学生在观察学习趣味视频中矫正原 思维定势。根据奥苏伯尔的有意义接受学习论， 针对学生学情， 新课讲解环节让学生在 问题情境中， 通过探究学习法、讲练结合法、合作学习法相结合， 体现其主体地 位，培养学生自主探究、合作交流与总结反思的能力。帮助学生变“我学会 ”为“我 会学 ”

5、。探究学习法：学生主动参与到发现问题、寻找答案的过程中。讲练结合法：在深入理解认识基础上形成一定技能和技巧。合作学习法：以数学小组的方式合作、互助学习。六、教学过程教学环节分为情境导入、探究新知、拓展应用、实践练习、课堂小结、布置 作业，简称为“引、探、拓、练、升、延 ”。(一)情境导入教师介绍：虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种 两栖动物。 莱布尼茨设计意图：通过对莱布尼茨名言的介绍，让学生初步接触“虚数”一词，同 时也为本节课的结束语做铺垫。教师引导：我们知道， 对于实系数一元二次方程 “x2+bx+c=0，当=b2-4“c0 时没有实数根。因此， 在研究代数方程的过程中， 如果限于实数集， 有些问题就 无法解决。教师提问：思考 1 从小到大， 我们认识了各种各样的数， 进入高中， 我们学习了集合， 你知道的数集有哪些?分别用什么字母表示?学生思考并回答：有自然数集、整数集、有理数集、实数集， 分别用 N、Z、Q、R 表示。教师接着提问：思考 2 你能用表示集合间关系的符号把这些数集“串”起来吗?学生思考并回答： 。教师再次提问：思考 3 这些数集是如何进行扩

6、充的？教师引领学生回顾数集的扩充过程。为了满足计数的需要，引入了自然数。为了刻画具有相反意义的量，引入了负数。从而将自然数集 N 扩充到了整 数集 Z。为了满足等额公平分配的需要，引入了分数。从而将整数集 Z 扩充到了有 理数集 Q。为了满足度量计算的需要，引入了无理数。从而将有理数集 Q 扩充到了实 数集 R。设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激 发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单 位 i 埋下伏笔，引入课题。让学生回顾数集的扩充过程， 在此基础之上， 帮助学生重新思考数集扩充的 原因，这是本节课的生长点。教师引导学生分析：思考 4 对前面的探究过程进行整理，负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾。分数的引入，解决了在整数集中不能整除的矛盾。无理数的引入，解决了在有理数集中开方开不尽的矛盾。方程 x2+1=0 在实数集中是无解的，回顾数集的扩充过程，应该引入什么样 的数，适当扩充实数集，才能解决在实数集中负数不能开平方的矛盾呢？教师让学生小组讨论，再让学生观看复数的发展史视频。 (视频见 PPT)设计意图：实际的需

7、要使实数具有某种实在感。可是， 复数的情形却不一样， 是纯理论的创造。通过问题引发学生认知冲突， 启发学生采用类比的思想。再通过视频简要介 绍复数发展史， 让学生感受科学上每迈出一步的艰辛， 并激发学生学习兴趣， 从 而让“引入新数”水到渠成。(二)探究新知教师给出虚数单位的概念：为了解决方程 x2+1=0 在实数集中无解的问题， 我们引入一个新数 i, 使得 i 是方程 x2+1=0 的根，即 i2=-1 ， i 叫做虚数单位。问题 1 把新引进的数 i 添加到实数集以后， 我们想到实数集可以进一步扩充， 那么实数集经过扩充后，新数集由哪些数组成？学生思考， 教师引导学生归纳， 新数是由实数与 i 经过加法、乘法运算组合 而成的，并要求学生写出其基本形式。教师总结并板书：形如 “+bi(“、b=R)的数叫做复数， 常用 z 表示， 其中 i 叫做虚数单位， “ 和 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部。(三)拓展应用例 1 指出下列复数的实部和虚部，并找出其中的纯虚数。3+2i， -0.2i。解：它们的实部分别是 3 ， ， 0；虚部分别是 2， -0.2。其中只有-0.2i 是纯虚数

8、。设计意图：通过例题达到前后照应，采用概念同化的方式完善学生的认知结 构，帮助学生内化复数的概念，起到学以致用的功效。例 2 当实数 m 取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数。解： (1)m-1=0，解得 m=1。(2)m-10，解得 m1。(3)m-10，且 m+1=0，解得 m=-1。对于第(3)小题，教师特别强调纯虚数的条件。设计意图：帮助学生巩固复数的分类标准，并积累研究数学问题的经验，有 助于教学目标的达成。(四)实践练习1.说出下列复数的实部与虚部：2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？3.求满足下列条件的实数 x ，y 的值。(1)(x+y)+(y-1)i= (2x+3y)+(2y+1)i； (2)(x+y-3)+(x-2)i=0。让学生思考后， 前两题学生口答， 第 3 题两学生上黑板解答， 其余学生独自 解答，教师巡视，发现问题并个别辅导，最后师生对黑板上解答共同评析。设计意图：通过实践练习，让学生学会重依据、有条理、合乎逻辑地思考问 题，培养学生的逻辑推理、数学运算素养。(五)课堂

9、小结师生共同明确本节课所学内容：1.虚数单位 i 的引入，数集的扩充。2.复数有关概念：教师小结：数学大师陈省身说： “没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有 近代文明。”数集的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化，就像人类进入太 空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃。设计意图：通过课堂小结让学生进一步巩固所学知识和方法，培养学生独立 分析、归纳概括的能力。通过两位名家对复数的不同表述， 与开头莱布尼茨的名言达到前呼后应的效 果。再次让学生体会数学发展史是一个艰难曲折而又不断进步的过程， 帮助学生 树立坚韧不拔的意志品质。(六)布置作业必做题：同步作业7.1.1 节习题。选做题： 1.思考：实数能用数轴上的点来表示，复数应当如何来表示？2.知识拓展：阅读虚数的故事，写一篇与数集扩充和发展有关 的小论文。设计意图：通过分层布置作业，让不同层次的学生在数学学习上有不同的发 展，帮助学生积累数学学习成功体验，激发学生数学学习兴趣。选做题 1 提出问题， 激发学生对复数后续学习的欲望。选做题 2 让学生阅读 课外数学读物，从而让学生感知数学文化，启迪学生数学思维。七、教学反思本节课的教学， 采用问题驱动式教学模式， 从概念产生的背景到概念的建立、 辨析再到概念的应用， 层层深入， 最后通过评价来检测教学目标的达成。这样教 学， 符合“感知辨认概括定义应用 ”的概念学习模式。此

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