2024届东北四市一模试题高考数学二模试卷含解析
22页1、2024届东北四市一模试题高考数学二模试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就,哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”( 注:如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数),在不超过的素数中,随机选取个不同的素数、,则的概率是( )ABCD2已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为 ABCD3设,则( )ABCD4从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图:根据频率分布直方图,可知这部分男生的身高的中位数的估计值为ABCD5将3个黑球3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有( )A
2、14种B15种C16种D18种6若的展开式中的常数项为-12,则实数的值为( )A-2B-3C2D37某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为( )A1B2C3D08已知类产品共两件,类产品共三件,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时,检测结束,则第一次检测出类产品,第二次检测出类产品的概率为( )ABCD9已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,则双曲线的离心率为()ABCD10在中,为的外心,若,则( )ABCD11若,点C在AB上,且,设,则的值为( )ABCD12已知函数的定义域为,且,当时,.若,则函数在上的最大值为( )A4B6C3D8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为
3、_;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为_14已知两点,若直线上存在点满足,则实数满足的取值范围是_15若函数,则_;_.16如图,在梯形中,分别是的中点,若,则的值为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)某地为改善旅游环境进行景点改造如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1(百米),且F恰在B的正对岸(即BFl3)(1)在图中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标18(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.19(12分)如图,已知抛物线:与圆: ()相交于, , ,四个点,(1)求的取值范围;(2)设四边形的
4、面积为,当最大时,求直线与直线的交点的坐标.20(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45的直线过抛物线的焦点,且与圆相切(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设求证点在定直线上,并求该定直线的方程21(12分)已知,且满足,证明:.22(10分)(本小题满分12分)已知椭圆C:的离心率为,连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A(1,0)的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点,且O为坐标原点,当时,求t的取值范围参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先列举出不超过的素数,并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中,随机选取个不同的素数、,满足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有:、,在不超过的素数中,随机选取个不同的素数,所有的基本事件有:、,共种情况,其中,事件“在不超过的素数中,随机选取个不同的素数、,且”包含的基本事件有:、,共种情况,因此,所求事件的概率为.故选
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