点差法弦长公式
22页1、点差法1过点(1, 0)的直线l与中心在原点,焦点在X轴上且离心率为的2椭圆C相交于A、B两点,直线y=1 x过线段AB的中点,同时椭圆C2 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程.命题意图:本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强,属级题目.知识依托:待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问 题,对称问题.错解分析:不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误. 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法:本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、 B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线 AB 斜率的 等式.解法二,用韦达定理.a2解法一:由 e= = 2 得 a2 -b2 =丄,从而 a2=2b2,c=b. a 2a 22设椭圆方程为X2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两式相 减得 , (x12x22)+2(y12y22)=0,2 一 X1 + x2 X1 - X22(人 + y2)设AB 中点为(X0
2、,y0),则kAB=,又(x0,y0)在直线y=Zx上,0=丄x0,AB2 y220于是一亠=2 y 0l,kAB= 1,设 1 的方程为 y=x+l.右焦点(b,o)关于1的对称点设为(X ,y),fJ lb+1解得慨1 - b 、2 2 *由点(1,1b)在椭圆上,得 1+2(1 b)2=2b2,b2= 9 a2 = 9 168所求椭圆C的方程为8x2 +16 y2 =1,1的方程为y=x+1.99a2解法二:由 e= 巨 得 a2 b2 = 1,从而 a2=2b2,c=b.2 a 22设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,1 的方程为 y=k(x1),将1的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2 4k2x+2k 2bi=0,则1 + 2k 2X+x2= 4k2 ,y1+y2=k(x1 1)+k(X2 1)=k(x1+x2) 2k= 2k1 + 2k 2直线1:y=lX过AB的中点(口2, y1+ y2 ),则二,解得2 221 + 2k 2 2 1 + 2k 2k=0,或 k=1.若k=0,则1的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线1的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,
3、所以k=0舍去,从而k=1,直线1的方程为y=(x1),即卩y=x+1,以下同解法C2的离心率为乜,如果C1与C相交于A、B两点,且线段AB恰为 2 2 1 2圆C的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.解:由e,可设椭圆方程为竺+ 22=1,22b2 b 2又设 A(xi,yi) B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2,又车 + / = i,畧 +1=1,两式相减,得xi2 -x22 + yi2 -y22 =0,2b 2 b22b 2 b 22b 2b 2即(x1+x2)(x1 -x2)+2(y1+y2)(y1 _y2)=0.化简得匸儿=T,故直线AB的方程为y=-x+3,x 一 x12代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0.有 =24他-720,又1ab|=,(兀+ x)2 一4xx 珂辽2 1 2 3得払:24b2 - 72 一 :!,解得 b2=8.93故所求椭圆方程为兰+ 22 =1.16 8椭圆兰+艺=Ka b 0)的离心率e = -, A、B是椭圆上关于坐标不对称的 a2 b23两点,线段AB的中垂线与轴交于点0)。(1)设AB中点为Kx,y )
4、,求x的值。0 0 0 若F是椭圆的右焦点,且af|+|bf|二3,求椭圆的方程。(1)令A(X, y】)、B (x2, y2)则 2 y2(2006年江西卷)如图,椭圆Q: + = (ab0)的右焦点F (c, 0),过点F的一a 2 b2动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点 求点P的轨迹H的方程兀在Q的方程中,令a2=1 + cos0 + sin0, b2=sin0 (00),确定G的值,使原点距椭圆2的右准线l最远,此时,设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时,三角形 ABD 的面积最大?x 2y2解:如图,(1)设椭圆Q:+】(ab0)a 2b2 + x2 = 2xo, y + y2 = 2yoyi y 2 =1-x 0xi - x 2y 0,2 c 2 a2 b24 b25由 e = = n = n =3a 3a29a29x 2 y 2又A、B在椭圆+匚=1上a2b2b 2 X2 + a 2 y2 = a 2 b 2b 2 x 22 + a 2 y 22 = a 2 b 2n b2(X + x2)(x x2)+ a2(y + y2)(y
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