点差法弦长公式

点差法1过点(1, 0)的直线l与中心在原点，焦点在X轴上且离心率为的2椭圆C相交于A、B两点，直线y=1 x过线段AB的中点，同时椭圆C2 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问 题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误. 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、 B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线 AB 斜率的 等式.解法二，用韦达定理.a2解法一：由 e= £ = 2 得 a2 -b2 =丄,从而 a2=2b2,c=b. a 2a 22设椭圆方程为X2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2, 两式相 减得 ， (x12x22)+2(y12y22)=0,2 一 X1 + x2 X1 - X22(人 + y2)设AB 中点为(X0,y0),则kAB=，又(x0,y0)在直线y=Zx上,0=丄x0,AB2 y220于是一亠=2 y 0l，kAB= 1,设 1 的方程为 y=x+l.右焦点(b,o)关于1的对称点设为(X ,y),'fJ lb+1解得慨1 - b 、2 2 *由点(1,1b)在椭圆上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2= 9 a2 = 9 16'8所求椭圆C的方程为8x2 +16 y2 =1,1的方程为y=x+1.99a2解法二：由 e= £ 巨 得 a2 b2 = 1,从而 a2=2b2,c=b.2 a 22设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,1 的方程为 y=k(x1),将1的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2 4k2x+2k 2bi=0,则1 + 2k 2X+x2= 4k2 ,y1+y2=k(x1 1)+k(X2 1)=k(x1+x2) 2k= 2k1 + 2k 2直线1：y=lX过AB的中点(口2, y1+ y2 )，则二，解得2 221 + 2k 2 2 1 + 2k 2k=0,或 k=1.若k=0,则1的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线1的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1,直线1的方程为y=(x1)，即卩y=x+1，以下同解法C2的离心率为乜，如果C1与C相交于A、B两点，且线段AB恰为 2 2 1 2圆C的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.解：由e£，可设椭圆方程为竺+ 22=1,22b2 b 2又设 A(xi，yi)> B(x2，y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2,又车 + / = i,畧 +1=1,两式相减，得xi2 -x22 + yi2 -y22 =0,2b 2 b22b 2 b 22b 2b 2即(x1+x2)(x1 -x2)+2(y1+y2)(y1 _y2)=0.化简得匸儿=T,故直线AB的方程为y=-x+3,x 一 x12代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0.有 =24他-72>0,又1ab|=,£(兀+ x)2 一4xx 珂辽2 1 2 3得払：24b2 - 72 一 ：!°，解得 b2=8.93故所求椭圆方程为兰+ 22 =1.16 8椭圆兰+艺=Ka > b > 0）的离心率e = -, A、B是椭圆上关于坐标不对称的 a2 b23两点，线段AB的中垂线与轴交于点0）。（1）设AB中点为Kx，y ），求x的值。0 0 0 若F是椭圆的右焦点，且af|+|bf|二3,求椭圆的方程。(1)令A(X, y】)、B (x2, y2)则 2 y2（2006年江西卷）如图，椭圆Q： + = （ab0）的右焦点F （c, 0）,过点F的一a 2 b2动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 求点P的轨迹H的方程兀在Q的方程中，令a2=1 + cos0 + sin0, b2=sin0 （0<0）,确定G的值，使原点距椭圆2的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形 ABD 的面积最大？x 2y2解：如图，（1）设椭圆Q：+】（ab0）a 2b2 + x2 = 2xo, y + y2 = 2yoyi y 2 =1-x 0xi - x 2y 0,2 c 2 a2 b24 b25由 e = = n = n =3a 3a29a29x 2 y 2又A、B在椭圆+匚=1上a2b2b 2 X2 + a 2 y2 = a 2 b 2b 2 x 22 + a 2 y 22 = a 2 b 2n b2(X + x2)(x x2)+ a2(y + y2)(y y2)= 0xx2) b2x0 +x x2a2y0y01y0y05x0 =99x0x0 |af|+|bf| = 3|af|bf|Jaf| =a exa2xa2Yx 2IbF=a ex2eX + a ex2=322a (X + x 2)= 3x + x 22a = 3 + 3 n a = 3n b2 = 5x 2 y 2所求椭圆方程为&亡=上的点A(X, y/、B (x2，y2),又设P点坐标为P (x, y),则 |b2x2+a2y2=a2b2 (1)S 11|b2x2 +a2y2=a2b2 221。当AB不垂直x轴时, 由(1)(2)得于X2,2）b2(xx)2x+a2(yy)2y=01 2 1 2b2xya2y xc.y y 2xxl2/.b2x2+a2y2b2cx = 0 （3）2。当AB垂直于x轴时，点P即为点F,满足方程（3） 故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2b2cx = 0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=聖，原点距lc亠 a2兀的距离为一，由于 C2 = a2b2, a2=1 + cos0+sin0, b2 = sin0 (0<0< )ca21 + cos & + sin 00 兀则 7 =童就=2sin( 2 + 4 )兀当0=时，上式达到最大值。此时a2 = 2, b2=1, c = 1, D (2, 0), |DF|=12x2设椭圆Q：片+ y2=l上的点A (x , y )、B(x , y ),2 1 1 2 2三角形ABD的面积S= 2 |yJ+ 2 |y2l= |y1 y2l12x2设直线m的方程为x = ky+1,代入可+ y=l中，得2(2 + k?) y2 + 2ky 1=0由韦达定理得yx+y2=2k_12+k2，尸 2+k2 '8(k2+l)4S2=(y1 y2)2=(y1 + y2)2 4 卩2= (k2 + 2)2当t = 1, k=0时取等号。8t 8 8令 t=k2+11，得尬=时=市 < 4 =2't因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。x 2 y 2(2006年湖南卷)已知椭圆C+ 2-二1，抛物线C : (y - m)2二2 px(p > 0)，且C、C1 4 3 2 1 2的公共弦ab过椭圆q的右焦点.（I）当AB丄x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；仃I）是否存在m、p的值，使抛物线C的焦点恰在直线AB 上?若存在，求出符合条件的m、2p 的值；若不存在，请说明理由.45(I) m =0，(I)解 （I）当AB丄x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0,直线AB的方程为 x=1，从而点A的坐标为（1,丄）或（1, 3 ）.22因为点A在抛物线上，所以9 = 2p，即p = 9.48此时C的焦点坐标为（2，0），该焦点不在直线AB上.2 16（II）解法一 当C2的焦点在AB时，由（I）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方 程为 y = k （x -1）.y = k (x -1)y2 消去 y 得(3 + 4k2)X2 8k2X + 4k2 12 = 0 . =13设A、B的坐标分别为（xi，yi） ,（x2，y2）,则x ,x是方程的两根，x +x =1 2123 + 4k 2因为AB既是过C的右焦点的弦，又是过C的焦点的弦,12所以 ab = （2 一 x ） + （2 一 x ） = 4 一 （x + x ），且IAB = (x1 + 2)+(x2 + 2)= x +x + p.122 1 2 2 2 1 2从而 x1+ x2 + p = 4 - 2( x1+ 叮-所以 x1 +x 2=8k23+4k2解得 k2 = 6,即k = ±；6 .因为C的焦点F(Z,m)在直线y = k(x-1)上，所以m = - k .2 3 3艮卩 m =或m = -.33当m = 6时，直线AB的方程为y = -：'6(x -1);当m =-丄6时，直线AB的方程为y =6(x-1).3设直线AB的方程解法二 当C2的焦点在AB时，由(I)知直线AB的斜率存在, 为 y = k(x -1) .由(y-m)2 = 3X消去 y 得(kx-k-m)2 = 8x .y = k (x 1)32因为C2的焦点F'(, m)在直线y = k(x 1)上，所以m = k& -1)，即m = 一丄k .代入有(kx一空)2 = x .3 333即 k 2 x 2 4(k 2 + 2)x + 4k = 0 .39设A、B的坐标分别为(xi，yi), 足“)，则x , x是方程的两根，x +x = 土2).1 2 1 23k 2y = k(x -1)消去 y 得(3 + 4k2)x2 -8k2x + 4k2 -12 = 0 . =1由于xi，x2也是方程的两根，所以xi + x2=弄兀 从而 4(k 2 + 2) =8匚.解得 k 2 = 6,即 k = ±6 .3k 23 + 4k 2因为C2的焦点F，(彳,m)在直线y = k(x 1)上，所以m = -寸k . 艮卩 m = ' 或m = -.33当m =丄6时，直线AB的方程为y = 一卞6(x -1)；3当m =-丄6时，直线AB的方程为y = i：6(x-1).3解法三 设A、B的坐标分别为(xi，yi),(x2，y2),因为AB既过C的右焦点F(1,0)，又是过C的焦点F，(2