2022届高三数学二轮复习高考中的不等式问题研究讲义-含答案.docx
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2022届高三二轮专题复习-----不等式专题高考中的不等式问题选讲高考中的不等式问题分两大类，一类是考查经典不等式，如柯西不等式，均值不等式，另一类是绝对值不等式问题，考查含参数取值问题，分段函数不等式问题.一、经典不等式的考查1.（全国I理23）[选修4—5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．解：（1）因为，又，故有.所以.（2）因为为正数且，故有=24.所以.点评：本题考查柯西不等式与均值不等式问题2.已知，，，证明：(1)；(2)．.解：（1）（2）∵，所以，因此．3.(江苏)[选修4—5：不等式选讲]若，，为实数，且，求的最小值．解：4.由柯西不等式，得．因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4．4.已知，，，证明：(1)；(2)．证明：（1）（2）∵，所以，因此．5.已知，，，为实数，且，，证明．证明：由柯西不等式可得：，因为所以，因此.【课外拓展题】问题：设求证：..................................（1）证明：（1）..............................（2）设则 所以（2）成立.所以6.【2021-浙江高考-T8】已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.二、 分段不等式问题7.(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]设函数．(1)画出的图像；(2)当时，，求的最小值．解：(1)的图像如图所示．(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．8.已知函数．（I）在图中画出的图像；（II）求不等式的解集．解：(1)如图所示：(2) ，．当，，解得或，．当，，解得或，或，当，，解得或，或，综上，或或，，解集为．9.设函数,其中．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．解：（Ⅰ）当时，可化为．由此可得 或．故不等式的解集为或．( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组 或，即或，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得=，故．10.已知函数，M为不等式的解集．（I）求M；（II）证明：当a，时，．解：（I）当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，．（Ⅱ）当时，有，即， 则，则，即， 证毕．11.设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.证明：解析（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为.（2）由于=，故由已知，当且仅当，，时等号成立．因此的最小值为．由题设，所以解得或.12.【2021浙江高考-T17】已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.【答案】解:由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.13.设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围．【解析】(1)当时，可得的解集为．(2)等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．14.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A. B.C．81π D．128π答案 B解析 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0
