新教材2022版数学苏教版必修第一册课件-7.2.1-任意角的三角函数.pptx

第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的概念.2.会用角的正弦线、余弦线、正切线分别表示角的正弦、余弦、正切函数值.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.7.2.1任意角的三角函数7.2三角函数概念第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数1.一般地,对任意角,在平面直角坐标系中,设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r,则r=.此时,点P是角的终边与半径为r的圆的交点.我们规定:(1)比值叫作的正弦,记作sin,即sin=;(2)比值叫作的余弦,记作cos,即cos=;(3)比值(x0)叫作的正切,记作tan,即tan=.2.sin,cos,tan分别叫作角的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为的三角函数.1 | 任意角的三角函数的概念第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数知识拓展(1)比值叫作角的余切,记作cot;(2)比值叫作角的余割,记作csc;(3)比值叫作角的正割,记作sec.cot,csc,sec分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.它们也都称为三角函数.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数2 | 正弦、余弦、正切函数的值在各个象限的符号第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数1.有向线段:规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.2.如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫作角的正弦线、余弦线、正切线,记作sin=,cos=,tan=.3 | 三角函数线第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数正弦函数y=sinx的定义域是R,余弦函数y=cosx的定义域是R,正切函数y=tanx的定义域是.4 | 三角函数的定义域第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数1.任意角的三角函数值与角终边上点P的位置有关.( )提示:任意角的三角函数值与角终边上点P的位置无关.2.已知点P(m,m)(m0)为角终边上一点,则sin=.( )提示:已知点P(m,m)(m0)为角终边上一点,则sin=.3.终边相同的角的三角函数值相等.()4.若tan0,则为第一、三象限角.()5.若cos0,则为第一、四象限角.( )提示:cos0=10,零角既不是第一象限角,也不是第四象限角.判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” .第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数6.若是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos=.( )提示:若是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos=.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数1 | 运用三角函数的概念求值江南水乡,水车在清澈的河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水倒进水渠,流向绿油油的田地,流向美丽的大自然.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数问题1.把水车放在坐标系中,点P为水车上一点,它转动的角度为,水车的半径为r,你能写出点P的坐标吗?提示:设P点坐标为(x,y),根据三角函数的概念知sin=,cos=,则P点坐标为(rcos,rsin).2.三角函数值的大小与点P在终边上的位置是否有关?提示:三角函数值是比值,与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角的终边位置有关.3.三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系?提示:由三角函数的概念知sin=,cos=,tan=(x0),所以三角函数在各象限的符号由角终边上的点P的横坐标、纵坐标的正负确定.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数1.求解三角函数值需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离.2.一般情况下,在默认始边与x轴非负半轴重合,顶点为原点的条件下,利用三角函数的概念求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则确定出该角的终边上异于原点的一点的坐标,即可求出各三角函数值;(2)若已知角终边上一点P(x,y)(x0),则r=,sin=,cos=,tan=;(3)若角终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数已知点P(m,-2)(m0)为角终边上一点,且cos=,求sin和tan.思路点拨根据cos=及m0得出m的值,再求sin和tan即可.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数解析因为P(m,-2)(m0),所以cos=,即m2=5.因为m0,所以m=-.所以sin=-,tan=.易错警示三角函数值是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角的终边位置有关.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数2 | 三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号可总结为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.其意思是说,第一象限角的三种三角函数值全是正数;第二象限角仅正弦值为正数;第三象限角仅正切值为正数;第四象限角仅余弦值为正数.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数已知sin0.(1)求角的集合;(2)求的终边所在的象限;(3)试判断tansincos的符号.思路点拨(1)根据条件判断出所在的象限,进而可写出的集合;(2)结合(1)求出的范围,从而可判断的终边所在的象限;(3)根据所在的象限判断tan,sin,cos的正负,进而可判断tansincos的符号.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数解析(1)由sin0,知在第一、三象限.所以角在第三象限,所以角的集合为2k+2k+,kZ.(2)由(1)知2k+2k+,kZ,所以k+k+,kZ,所以的终边在第二、四象限.(3)当在第二象限时,tan0,cos0;当在第四象限时,tan0,sin0,所以tansincos0.综上所述,tansincos的符号为正号.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数方法总结已知一个角的三角函数值中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的“交集”即该角的终边位置.同时应注意终边在坐标轴上的特殊情况.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数3 | 利用三角函数线解不等式利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点.一般来说,对于sinb,cosa(或sinb,cosa),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的的范围;对于tanc(或tanc),取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结合图形可确定相应的的范围.重要提示确定区域时,可以将终边顺时针(或逆时针)转动,观察函数值的变化,从而确定符合条件的区域范围.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数在单位圆中画出符合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合.(1)sin;(2)cos-.第1讲描述运动的基本概念第7章三角函数解析(1)如图1所示,作直线y=,交单位圆于A,B两点,作射线OA,OB,当OA或OB为角的终边时,sin=,当的终边落在阴影部分(包括边界)时,sin.故满足条件的角的集合为2k+2k+,kZ.(2)如图2所示,作直线x=-,交单位圆于C,D两点,作射线OC,OD,当OC或OD为角的终边时,cos=-,当的终边落在阴影部分(包括边界)时,cos-.故满足条件的角的集合为2k+2k+,kZ.。