数学人教版八年级上册几何题中的辅助线.pptx

几何题中的辅助线,——三角形中的辅助线（1）,添加辅助线的方法：,1、连结；（分割、构造） 2、作垂线；（面积、角平分线、特殊三角形） 3、延长；（倍长中线法） 4、作平行线；（全等、相似、中位线）,添辅助线有几种情况： 1、按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线 2、按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图” 3、按题目条件及要求添辅助线： 将题目给的条件都用起来，为了解决题目要求服务来添加辅助线例1：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高 （1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明； （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由解：（1）DE+DF=CG 证明：连结AD ∵ ∴ ∵ ∴,（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG 证明：连接AD ∵ ∴ ∵ ∴ 即：,,例2：(2016湖州)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是（ ） A.8 B.6 C.4 D.2,解析：解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4. 故选C.,,例3：如图，已知l₁∥l₂∥l₃，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是,解：如图，分别过点A，B作AE⊥l1，BF⊥l1，垂足分别为E，F，BF与l3交于点D， 则易由AAS证明△AEC≌△CFB。

设平行线间距离为d＝1， 则CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝ ， AB＝ ∴,,例4：如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b， 则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ） A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定,解析：在延长BA至点E，使AE=AC，连接EP， ∵AD是∠A的外角平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 在△ACP和△AEP中， AE=AC ∠CAD=∠EAD AP=AP ， ∴△ACP≌△AEP（SAS）， ∴PE=PC， 在△PBE中，PB+PE＞AB+AE， ∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b， ∴m+n＞b+c． 故选A．,b,c,c,m,n,n,,例5： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD与A′D′分别为两个三角形的的中线 求证：△ABC≌△A′B′C′证明：分别延长AD，A′D′至点E，E′，使得DE=AD，D′E′=A′D′，连结CE，C′E′， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD与△ECD中 BD=CD， ∠ADB=∠EDC， AD=ED， ∴△ABD≌△ECD(SAS) 同理可证：△A′B′D′≌△E′C′D′ 易用SSS证明△ACE≌△A′C′E′ ∴△ABC≌△A′B′C′ 可进一步得出结论：AC+AB＞2AD,,例6：已知，在△ABC中，∠ABC=90°，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点， ∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是 ：1，求 的值。

解：过点D作DG∥BC，交AC于点G， 则∠ADG=∠B=90°， ∵∠BAC=∠ADH=30°， ∴∠HGD=∠HDG=60°， ∴AH=GH=GD,AD= GD， 由题意可知，AD= CE， ∴GD=CE， ∵DG∥BC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF， ∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GF=CF， ∴GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF， ∴ =2思考题： 如图三角形ABC中，∠C=90°，∠BDC=∠EDA=30°，AD= ，AE∶BE=1∶4， 求△BDE的面积解：过点E作EF⊥AC于点F， ∵∠C=90°， ∴EF∥BC，易得△AEF∽△ABC， ∴EF∶BC=AE∶AB=AF∶AC=1∶5,假设EF=a，则BC=5a ∵∠BDC=∠EDF=30°，CD=5 a，DF= a， ∵AD= ，所以AF= - a， ∴（ - a）∶（5 a+ ）=1∶5， 可求得a=2/5， ∴S△BDE=S△ABD-S△ADE=AD×BC/2-AD×EF/2= - /5=4 /5,。