全国高考理科数学试题及答案全国卷3.pdf

学 海 无 涯 XXXX年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1．已知集合 22 {( , )1}Ax y xy=+=，{( , )}Bx y yx==，则AB中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 2．设复数z满足(1)2i zi+=，则| | z = A． 1 2 B． 2 2 C． 2 D．2 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了XXXX年1月至XXXX 年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4． 5 ()(2)xyxy+−的展开式中 33 x y的系数为（） A．-80 B．-40 C．40 D．80 5．已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab −=的一条渐近线方程为 5 2 yx= ，且与椭圆 22 1 123 xy +=有公共焦点．则C的方程为（） A． 22 1 810 xy −= B． 22 1 45 xy −= C． 22 1 54 xy −= D． 22 1 43 xy −= 6．设函数( )cos() 3 f xx  =+，则下列结论错误的是（） 学 海 无 涯 A．( )f x的一个周期为2− B．( )yf x=的图像关于直线 8 3 x  =对称 C．()f x+的一个零点为 6 x  = D．( )f x在(, ) 2  单调递减 7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数 N的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的 球面上，则该圆柱的体积为（） A． B． 3 4  C． 2  D． 4  9．等差数列{ } n a的首项为1，公差不为0．若 236 ,,a a a成等比数列，则{ } n a前6项的和为 A．-24 B．-3 C．3 D．8 10．已知椭圆 22 22 :1 xy C ab +=（0ab）的左、右顶点分别为 12 ,A A，且以线段 12 A A为直 径的圆与直线20bxayab−+=相切，则C的离心率为（） A． 6 3 B． 3 3 C． 2 ３ D． 1 3 11．已知函数 211 ( )2() xx f xxxa ee −− + =−++有唯一零点，则a =（） A． 1 2 − B． 1 3 C． 1 2 D．1 12．在矩形ABCD中，1,2ABAD==，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 APABAD=+，则+的最大值为 A．3 B．2 2 C．5 D．2 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若 , x y满足约束条件 0, 20, 0 xy xy y −  +−     则34zxy=−的最小值为________． 14．设等比数列{ } n a满足 1213 1,3aaaa+= −−= −，则 4 a =________． 学 海 无 涯 15．设函数 1,0, ( ) 2 ,0 x xx f x x + =   则满足 1 ( )()1 2 f xf x+−的x的取值范围是________． 16．, a b为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与, a b 都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； ②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角； ③直线AB与a所成角的最小值为45； ④直线AB与a所成角的最大值为60． 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选 考题，考生根据要求作答） （一（一））必必考考题题：共：共6060分．分． 17．（12分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知sin3cos0,2 7,2AAab+=== （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且ADAC⊥，求ABD△的面积． 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每 瓶6元， 未售出的酸奶降价处理， 以每瓶2元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量 为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得 下面的频数分布表： 最高气温 ) 10 15， ) 15 20， ) 20 25， ) 25 30， ) 30 35， ) 35 40， 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的 进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19． （12分） 如图， 四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD??，ABBD=． （1）证明：平面ACD^平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体 D A B C E 学 海 无 涯 ABCD分成体积相等的两部分．求二面角DAEC--的余弦值． 20．（12分）已知抛物线 2 :2C yx=，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以 线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，2-），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）已知函数 ( )1lnf xxax=− − ． （1）若 ( )0f x ≥ ，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n， 2 111 (1)(1)(1) 222n m++鬃 ?<，求m的最 小值． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 2,xt ykt =+  =  （t为参数），直线 2 l的参数方 程为 2,xm m y k = − +   =   （m为参数），设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲 线C． （1）写出C的普通方程： （ 2 ） 以 坐 标 原 点 为 极 点 ，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设 3 l： (cossin )20+−=，M为 3 l与C的交点，求M的极径． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数 ( ) ||||f xxx=+ −−． （1）求不等式 ( )f x 的解集； （2）若不等式( )f xxxm  − +的解集非空，求m的取值范围． 学 海 无 涯 XXXX 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 3） 理科数学参考答案 一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A 二、填空题 13．1− 14．8− 15． 1 (,) 4 −+ 16．②③ 三、解答题 17．解： （1）由已知可得tan3A= −，所以 2 3 A  = 在ABC中，由余弦定理得 2 2 2844 cos 3 cc  =+−，即 2 2240cc+−= 解得6c = −（舍去） ，4c = （2）由题设可得 2 CAD  =，所以 6 BADBACCAD  =−= 故ABD面积与ACD面积的比值为 1 sin 26 1 1 2 AB AD AC AD  = 又ABC的面积为 1 4 2sin2 3 2 BAC =，所以ABD的面积为 3 18．解： （1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 () 216 2000.2 90 P X + ===，() 36 3000.4 90 P X ===，() 2574 5000.4 90 P X ++ ===. 因此X的分布列为： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500 当300500n时， 若最高气温不低于25，则642Ynnn=−=； 学 海 无 涯 若最高气温位于区间[20,25），则6 300 2(300)41200 2Ynnn= +−−=−； 若最高气温低于20，则6 2002(200)4800 2Ynnn= +−−=− 因此20.4 (1200 2 ) 0.4 (800 2 ) 0.2640 0.4EYnnnn=+−+−=− 当200300n时， 若最高气温不低于20，则642Ynnn=−=； 若最高气温低于20，则6 200 2(200)4800 2Ynnn= +−−=− 因此2(0.4 0.4)(800 2 ) 0.2 160 1.2EYnnn=++−=+ 所以300n =时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19．解： （1）由题设可得，ABDCBD ，从而ADDC= 又ACD是直角三角形，所以 90ADC= 取AC的中点O，连结,DO BO， 则,DOAC DOAO⊥= 又由于ABC是正三角形，故BOAC⊥ 所以DOB为二面角DACB−−的平面角 在Rt AOB中， 222 BOAOAB+= 又ABBD=，所以 222222 BODOBOAOABBD+=+== ，故 90DOB= 所以平面ACD ⊥平面ABC （2）由题设及（1）知，,,OA OB OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方 向，||OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则 (1,0,0), (0, 3,0),( 1,0,0),(0,0,1)ABCD− 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的 1 2 ，从而E到平面ABC的距离为D到 平面ABC的距离的 1 2 ，即E为DB的中点，得 3 1 (0,, ) 22 E ，故 3 1 ( 1,0,1),( 2,0,0),( 1,, ) 22 ADACAE= −= −= − O D A B C E D A B C E y x O z 学 海 无 涯 设( , , )nx y z=是平面DAE的法向量，则 0, 0 m AC m AE  =   =  同理可取(0, 1, 3)m =− 则 7 cos, ||||7 n m n m n m == 所以二面角DAEC−−的余弦值为 7 7 20．解： （1）设 1122 ( ,), (,), :2A x yB xyl xmy=+ 由 2 2, 2 xmy yx =+  =  可得 。