《集合》公式汇总.doc

集合1《《集合集合》》公式汇总公式汇总集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到 19 世纪才被创立最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”集合里的“东西”，叫作元素由一个或多个元素所构成的叫做集合若 x 是集合 A 的元素，则记作 x∈∈A集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同例如：集合 A={1，a}，则 a 不能等于 1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分并交集并集定义：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，记作 A∪B（或 B∪A），读作“A 并 B”（或“B 并 A”），即A∪B={x|x∈A,或 x∈B}并集越并越多交集定义：由属于 A 且属于 B 的相同元素组成的集合，记作 A∩B（或 B∩A），读作“A 交 B”（或“B 交 A”），即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}交集越交越少若 A 包含 B，则 A∩B=B，A∪B=A补集相对补集定义：由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合，称为 B 关于 A 的相对补集，记作 A-B 或 A\B，即 A-B={x|x∈A，且 x∉B'}绝对补集定义：A 关于全集合 U 的相对补集称作 A 的绝对补集，记作 A'或∁u（A）或~A。

·U'=Φ；Φ‘=U（一）元素与集合（一）元素与集合1、元素与集合的关系：、元素与集合的关系：  、若是集合的元素，就说属于，记作：，读作“属于”aAaAaAaA 若不是集合的元素，就说不属于，记作：，读作“不属于” aAaAaAaA 2、集合的表示：、集合的表示：列举法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 形如：{1,2,3,5}描述法：描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. 形如：{x|x2＋2x－3＞0}}xxx图示法：图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 3、常见数集的符号表示：、常见数集的符号表示：自然数集（非负整数集）；N正整数集或；NN整数集；Z有理数集；Q实数集；R正实数集R符号法N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}N*或 N+：正整数集合{1,2,3,…}集合2Z：整数集合{…,-1,0,1,…}Q：有理数集合Q+：正有理数集合Q-：负有理数集合R：实数集合(包括有理数和无理数）R+：正实数集合R-：负实数集合C：复数集合∅：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）（二）集合间的基本关系（二）集合间的基本关系概念概念写法写法含义含义 相等相等ABA(B)子集子集AB 读作“包含于” 或“包含”ABBA（1）（2）A   （3）AB 真子集真子集AB读作“真包含于” 或“真包含”ABBA（1）（2）A   非空真子集非空真子集且 A≠AB空集空集空集是任何集合的子集 注： 1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。

2、集合个数：、集合个数：★★★★★★★★★★集合3集合集合 A 中有中有 n 个元素，则集合个元素，则集合 A 的子集有（的子集有（）个，真子集有（）个，真子集有（）个，非空真子集有（）个，非空真子集有（）个）个2n21n22n 元素子集真子集非空子集非空真子集 n2n21n21n22n（三）集合的基本运算及运算法则（三）集合的基本运算及运算法则集合集合韦恩图韦恩图数轴表示数轴表示交集在画数轴时，要注意层次感和实心空心！并集只要是线下面的部分都要！补集U UAðA 注： 1 1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外、集合运算法则：从括号内开始，由内而外 Cu（A∩B）=Cu A∩Cu B Cu（A∪B）=Cu A∪Cu B 2 2、常见结论：、常见结论： 若 A∪B=B，则AB 若，则ABAIAB一．知识归纳：一．知识归纳：1．集合的有关概念1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素集合4注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似②集合中的元素具有确定性（a?A 和 a?A，二者必居其一）、互异性（若 a?A，b?A，则 a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念1）子集：若对 x∈A 都有 x∈B，则 A B（或 A B）；2）真子集：A B 且存在 x0∈B 但 x0 A；记为 A B（或 ，且 ）3）交集：A∩B={x| x∈A 且 x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A 或 x∈B}5）补集：CUA={x| x A 但 x∈U}注意：①? A，若 A≠?，则? A ；②若 ， ，则 ；③若 且 ，则 A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合 A 的元素个数是 n，则 A 有 2n 个子集，2n－1 个非空子集，2n－2 个非空真子集。

二．例题讲解：二．例题讲解：【例 1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则 M,N,P 满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手解答一：对于集合 M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合 N：{x|x= ,n∈Z}对于集合 P：{x|x= ,p∈Z}，由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数，而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数，所以 M N=P，故选 B分析二：简单列举集合中的元素解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素 ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故 P=N，所以选 B集合5点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手变式：设集合 ， ，则（ B ）A．M=N B．M N C．N M D．解：当 时，2k+1 是奇数，k+2 是整数，选 B【例 2】定义集合 A*B={x|x∈A 且 x B}，若 A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则 A*B 的子集个数为A）1 B）2 C）3 D）4分析：确定集合 A*B 子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合 A={a1，a2，…，an}有子集 2n 个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A 且 x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故 A*B 的子集共有 22 个变式 1：已知非空集合 M {1,2,3,4,5}，且若 a∈M，则 6?a∈M，那么集合 M 的个数为A）5 个 B）6 个 C）7 个 D）8 个变式 2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合 A.解：由已知，集合中必须含有元素 a,b.集合 A 可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.评析 本题集合 A 的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .【例 3】已知集合 A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且 A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数 p,q,r 的值解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程 x2+px+q=0 的两根为-2 和 1，∴ ∴变式：已知集合 A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且 A∩B={2},A∪B=B，求实数 b,c,m 的值.解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4∴b=-4,c=4,m=-5【例 4】已知集合 A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合 B 满足：A∪B={x|x>-2}，且 A∩B={x|1分析：先化简集合 A，然后由 A∪B 和 A∩B 分别确定数轴上哪些元素属于 B，哪些元素不属于 B。

解答：A={x|-21}由 A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф综合以上各式有 B={x|-1≤x≤5}变式 1：若 A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知 A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求 a,b答案：a=-2，b=0）点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之变式 2：设 M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若 M∩N=N，求所有满足条件的 a 的集合解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M集合6①当 时，ax-1=0 无解，∴a=0 ②综①②得：所求集合为{-1，0， }【例 5】已知集合 ，函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q，若 P∩Q≠Φ，求实数 a 的取值范围分析：先将原问题转化为不等式 ax2-2x+2>0 在 有解，再利用参数分离求解解答：（1）若 ， 在 内有有解令 当 时，所以 a>-4,所以 a 的取值范围是变式：若关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。