第四届希望杯数学竞赛四年级二试答案.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第四届学校“期望杯”全国数学邀请赛四年级第 2 试解答一、填空题 〔 每道题 4 分，共 60 分； 〕 1．解答 ：原式＝ 25× 4×（ 8÷ 14+9÷ 21）＝ 100×（ 4/7+3/7 ）＝ 1002．假如 那么解答 ：△×△＝（ 2006+4）÷ 5-2 ＝ 400，所以△＝ 203．假如数 A 减去数 B 的 3 倍，差是 51；数 A 加上数 B 的 2 倍，和是 111，那么数 A＝ ，数 B＝ ；解答 ：依题意 A-3B＝ 51，A+2B＝ 111，两式相减得 5B＝60，所以 B＝ 12，A＝ 874．如图 1，圆 A 表示 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3 整除的数， 圆 B 表示这 50 个数中能被 5 整除的数，就阴影部分表示的数是 ；解答 ：阴影部分是 A 和 B 共有的，即 1 到 50 这 50 个自然数中能被 3× 5＝ 15 整除的数，即 15，30， 45 5 ．有 40 个连续的自然数，其中最大的数是最小的数的 4 倍，那么最大的数与最小的数之和是 ；解答 ：最大的数是最小的数的 4 倍，那么两数之差就是最小数的 3 倍；最大数与最小数的差是 39，所以 最小数是 39÷ 3＝ 13，最大数是 13× 4＝52，两数之和是 656．牧羊人赶一群羊过 10 条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上 3 只，最终清查仍剩 6 只；这群羊在过河前共有 只；解答 ：用仍原法，过第 10 条河之前，有（ 6-3 ）× 2＝6 只，因此他过每一条河之前都有 6 只羊，最初也共有 6 只；7 ．一群猴子分桃，桃子共有 56 个，每只猴子可以分到同样多的桃子；但在它们刚要分桃时，又来了 4只猴子， 于是重新安排这些桃子， 结果每只猴子分到的桃子数量相同， 那么最终每只猴子分到 个桃子；解答 ： 56 的因数有 1， 2， 4， 7，8， 14， 28， 56，其中只有 4 和 8 相差 4，所以最终有猴子 8 只，每只猴子分到 56÷ 8＝ 7 个桃子；8 ．三只小猫去钓鱼，它们共钓上 36 条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的 5倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条；黑猫钓上 条鱼；解答 ：白猫钓到 36÷（ 5+1）＝ 6 条，花猫和黑猫共钓 30 条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条，那么就比黑猫钓到的 2 倍多 3 条，黑猫钓到（ 30-3 ）÷ 3＝9 条9 ．从 1，3，5，7 中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数， 这些三位数中能被 3 整除的有 个； 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解答 ：一个数能被 3 整除，它的各位数之和就能够被 3 整除；从 1，3，5，7 中任选 3 个数可以是 1，3， 5； 1， 3， 7； 1， 5，7； 3， 5，7；和能被 3 整除的有： 1， 3， 5 和 3，5， 7，共能组成 3！× 2＝ 12 个数；10 ．如图 2，两个同样的铁环连在一起长 28 厘米，每个铁环长 16 厘米； 8 个这样的铁环依此连在一起长 厘米；解答 ：两个铁环连在一起，重叠的部分长 16× 2-28 ＝ 4 厘米， 8 个这样的铁环依此连在一起长 16× 8-4× 7＝ 100 厘米；11 ．图 3 是 3×3点阵，同一行 〔 列〕 相邻两个点的距离均为 1；以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中面积为 1 的外形不同的三角形有 种；解答 ：在此题中，三角形的面积是 1，底和高只能一个是 1，一个是 2，可以有以下三种情形：12．如图 4，用标号为 1， 2， 3， 4， 5 的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是 18， 14，就标号为 5 的正方形的面积是 ；解答 ：假如标号为 5 的正方形的边长是 a，那么 1 号比 2 号大 a，2 号比 3 号大 a，所以 1 号比 3 号大 2a；又由于 2 号和 3 号的边长之和是 14， 1 号和 2 号的边长之和是 18，所以 1 号比 3 号大 18-14 ＝ 4；即 2a＝ 4， a＝ 2，标号为 5 的正方形的面积是 4；13．小强和小明一同到便利店购物，图 5 是他们两人购物的单据，由此运算出盐每袋 元，醋每袋 元；解答 ： 3 袋盐和 5 袋醋共 15 元，那么假如买 5 份这样的，即 15 袋盐和 25 袋醋共 75 元； 5 袋盐和 3 袋醋共 17 元，那么假如买 3 份这样的，即 15 袋盐和 9 袋醋共 51 元；所以 16 袋醋共 24 元，每袋醋 1.5 元，所以每袋盐 2.5 元；14．如图 6 所示的算式中，假如七个方格中的数字互不相同，那么和的最大值是；解答 ：要使和最大，那么两个加数的十位要尽量大，即分别为 8 和 9，那么和的前两位是 17 或 18，数字不能重复，所以只能是 17，即个位不能进位，那么和的个位最大是 6，这时加数的个位分别是 2 和 4，可行；所以和的最大值是 176； 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -15．现在世界各国普遍采纳的公历是在 1582 年修订的格列高里历，它规定：公元年数被 4 除得尽的是闰年， 但如被 100 除得尽而被 400 除不尽的就不是闰年； 按此规定， 从 1582 年至今共有 个闰年；解答 ： 1582-2006 共有（ 2004-1584 ）÷ 4+1＝ 106 个数能被 4 整除，能被 100 整除的有 5 个，但这 5 个数中 1700， 1800， 1900 不能被 400 整除，所以共有 106-3 ＝ 103 个闰年；二、解答题 〔 每道题 10 分，共 40 分； 〕 要求：写出推算过程；16 ．如图 7 所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数；请问这样的填法存在吗 .如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法；解答 ：不存在这样的填法； 〔2 分〕理由；设所填的数分别是 a， b，c ，如下列图；假设 a+b= 奇数．a+c= 奇数，b+c= 奇数， 〔5 分〕三式相加左边 =2〔a+b+c〕 ，是偶数， 〔7 分〕 右边 =三个奇数相加，是奇数， 〔9 分〕 而 偶 效 ≠ 奇 数 ，所以不存在这样的填法． 〔10 分〕17 ．甲、乙两人分别从相距 260 千米的 A、B 两地同时沿笔直的大路乘车相向而行，各自前往 B 地、 A地；甲每小时行 32 千米，乙每小时行 48 千米；甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于 20 千米时，两人可用对讲机联络；问：(1) 两人动身后多久可以开头用对讲机联络 .(2) 他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇 .(3) 他们可用对讲机联络多长时间 .解答 ： 〔1〕〔260- 20〕 ÷〔32+48〕=3〔 小时 〕 ； 〔3 分〕〔2〕20 ÷〔32+48〕 =0.25〔 小 时 〕 ； 〔6 分 〕〔3〕 从甲、乙相遇到他们其次次相距 20 千米也用 0.25 小时．所以他们一共可用对讲机联络0.25+0.25=0.5〔 小时 〕 ； 〔9 分〕18．星期天早晨，小明发觉闹钟因电池能量耗尽停走了；他换上新电池，估量了一下时间，将闹钟的指针拨到 8： 00；然后，小明离家前往天文馆；小明到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是9： 15；一个半小时后，小明从天文馆以同样的速度返回家中，看到闹钟显示的时间是 11：20；请问，这时小明应当把闹钟调到什么时间才是精确的 .解答 ：由小明的闹钟显示的时间可知．小明出门共用了 3 小时 20 分钟； 〔3 分〕 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -来回路上共用去 1 小时 50 分钟，回家路上用去 55 分钟． 〔6 分〕从小明到达天文馆，到回到家中共经受 2 小时 25 分钟，小明到达天文馆时是 9:15 ，所以回到家中的时间是 11 时 40 分，即应把闹钟调到 11:40 ． 〔10 分〕19 ． 2005 年，小张有一次出差的几天的日期数加起来恰好是 60；问：小张出差了几天 .是哪几天 .〔 注：日期数指 a 月 b 日中的 b，如 4 月 16 日的日期数是 16〕解答 ：先考虑日期数是连续整数的情形；由于 1+2+3+ +11=66>60，所以 小张出差不会超过 10 天； 〔2 分〕明显，小张不行能只出差 1 天；假设出差 2 天，且第 1 天的日期数是 a，就 a+〔a+1〕=60 ， 2a=59，a 不是整数，因此，小张不行能出差 2 天；同理，有a+〔a+1〕+〔a+2〕=60 ．a=19 ，可能出差 3 天；a+〔a+1〕+〔a+2〕+〔a+3〕=60 ，4a=54 ，不行能出差 4 天; a+〔a +1〕+ +〔 a+4〕=60 ，a=10 ，可能出差 5 天; a+〔a +1〕+ +〔 a+5〕=60 ，6a=45 ，不行能出差 6 天；a+〔a +1〕+ +〔 a 十 6〕=60 ，7a=39 ，不行能出差 7 天；a+〔a +1〕+ +〔 a+7〕=60 ，a=4 ，可能出差 8 天；a+〔a +1〕+ +〔 a+8〕=60 ，9a=24 ，不行能出差 9 天; a+〔a +1〕+ +〔 a+9〕=60 ，lOa=15 ，不行能出差 10 天； 〔6 分〕再考虑跨了两个不同月份的情形．2005 年各月的最大日期敛有 28， 30， 31 三种．由于 27+28+1+2<60 ，27+28+1+2+3>60 ，28+1+2+ +7<60，28+1+2+ +8>60，所以不行能跨过最大日期数是 28 的月份；同理可判定不行能跨过最大日期数是 31 的月份； 〔8 分 〕而 29+30+l=60 ，30+1+2+ +7<60，30+1+2+ +8>60，所以可能在 29 日,30 目， 1 日这三天出差；综上所述，有 4 种可能：(1) 出差 3 天．从 19 目到 21 日；(2) 出差 5 天，从 10 日到 14 日; 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -(3。