章末综合测评(六) 幂函数、指数函数和对数函数 (满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f ＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝( )A．－1 B．0 C．1 D．2C [∵f(x)是定义在R上的奇函数，f ＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，∴f ＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.故选C.]2．若a>1，－10，且a≠1，故必有a2＋1>2a.又loga(a2＋1)1，∴a>，综上a∈.]5．函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(－2)＝( )A．－1 B．1 C．－ D．D [由y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x的图象关于直线y＝x对称，可知f(x)与g(x)互为反函数．令log2x＝－2，得x＝，即f(－2)＝.]6．已知a＝log2 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜aB [∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)C．f(－4)0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的图象关于x＝－1对称，所以f(－4)>f(1)．]8．已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，且对∀x11时，是单调递增函数，又因为f(3)＝1，所以有f(－1)＝1，当log2x≤1，即当0－1⇒x>，∴1，即当x>2时，f(log2x)<1⇒f(log2x)0D．f x2时则有f(x1)－f(x2)>0，>0，x10，故C正确．对于D，f(x)＝2x图象下凹，由几何意义知D正确．]11．设函数f 的定义域为D，若对于任意x∈D，存在y∈D使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C.下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是( )A．y＝x3＋1(x∈R) B．y＝2x(x∈R)C．y＝ln x(x>0) D．y＝x2AC [即对任意定义域中的x，存在y，使得f(y)＝f(x)－2；由于A、C值域为R，故满足；对于B，当x＝0时，函数值为1，此时不存在自变量y，使得函数值为－1，故B不满足；对于D，当x＝0时，不存在自变量y，使得函数值为－1，所以D不满足．故选AC.]12．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论错误的是( )A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0C．f(x)有最小值，无最大值D．g(x)有最小值，无最大值ABC [对A，f(x)＝ex－e－x中，y＝ex为增函数，y＝e－x为减函数．故f(x)＝ex－e－x为增函数．故任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有>0.故A错误．对B，易得反例g(1)＝e1＋e－1，g(－1)＝e－1＋e1＝g(1)．故<0不成立．故B错误．对C，因为f(x)＝ex－e－x为增函数，且当x→－∞时f(x)→－∞，当x→＋∞时f(x)→＋∞.故f(x)无最小值，无最大值．故C错误．对D，g(x)＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x即x＝0时等号成立．当x→＋∞时，g(x)→＋∞.故g(x)有最小值，无最大值．故选ABC.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________． [因为f(x)＝为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以a＝.]14．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________． [要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即 解得a>.]15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L，与时间t h间的关系为P＝P0e－kt.如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________的污染物．81% [由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P0＝P0e－5k.解得k＝－ln 0.9.则10小时后还剩P＝P0e－10k＝P0e2ln 0.9＝P0eln 0.81＝0.81 P0＝81%P0.]16．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a0，且a≠1)过点(－2,9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．[解] (1)将点(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝，∴f(x)＝x.(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．18．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)且lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域．[解] (1)∵lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，∴lg(lg y)＝lg[3x(3－x)]，∴lg y＝3x(3－x)，∴y＝103x(3－x)，即f(x)＝103x(3－x)．∵∴00，且a≠1)，若牛奶放在0 ℃的冰箱里，保鲜时间是200 h，而在1 ℃的温度下则是160 h.(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式；(2)利用(1)的结论，指出温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间．[解] (1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是y＝tax(a>0，且a≠1)，由题意可得：解得故函数解析式为y＝200x.(2)当x＝2 ℃时，y＝2002＝128(h)．当x＝3 ℃时，y＝2003＝102.4(h)．故温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间分别为128 h和102.4 h.20．(本小题满分12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．[解] (1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．因为g(x)的图象过点，所以loga2＝，所以a＝2，解得a＝2.所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，又g(1.5)＝log21.5log21＝0，所以0g(1.5)>g(0.2)．21．(本小题满分12分)(1)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋23x＋1－9x的值域；(2)已知－3≤x≤－，求函数f(x)＝log2 log2 的值域．[解] (1)f(x)＝3＋23x＋1－9x＝－(3x)2＋63x＋3，令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小。
