数学北师大版八年级下册1.4.2《 角平分线》（第2课时）.ppt

第一章 三角形的证明 4 角平分线（2）,,Contents,目录,,,,,01,02,旧知回顾,学习目标,新知探究,随堂练习,课堂小结,1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等； 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用,1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知) ∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等),2.角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.,如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上. (在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).,这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.,观察这三条角平分线, 你发现了什么?,结论: 三角形三个角的平分线相交于一点.,你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?,利用尺规作出三角形三个角的角平分线.,观察这三条角平分线, 你发现了什么?,结论: 三角形三个角的角平分线相交于一点.,你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗?,命题: 三角形三个角的平分线相交于一点.,基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点, 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.,,如何证三条直线交于一点？,如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC, AB的垂线,垂足分别E,F,D.,∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理, PE=PF.,∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)，并且PD=PE=PF.,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P，并且P点到三条边的距离相等.,定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,如图, 在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三角形的内心.,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF (三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).,例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.,(1)如果CD=4cm, 求AC的长;,(2)求证:AB=AC+CD.,解（1）∵ AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC∴ ∠B=∠BAC(等边对等角) ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45° ∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°∴BE=DE 在等腰直角三角形BDE中,例3. 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.,(1)如果CD=4cm, 求AC的长;,例3. 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.,(2)求证:AB=AC+CD.,解（2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴ AC=AE. ∵ BE=DE=CD, ∴ AB=AE+BE=AC+CD,1. 如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？,满足条件共4个,2. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是Rt△ABC的角平分线. 求证: BD=2CD.,证明： ∵ ∠C=90°， ∠B= 30° ∴Rt△ABC中，AB=2AC, ∠BAC= 60° ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°, AD=BD ∴ Rt△ACD中，AD=2CD ∴ BD=2CD,3. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证: 点F在∠DAE的平分线上.,证明： ∵ BF是∠CBD的角平分线 ∴ F到BC,AD的距离相等 ∵ CF是∠BCE的角平分线 ∴ F到BC,AE的距离相等 ∴ F到AD,AE的距离相等 从而点F在∠DAE的平分线上.,证明：(1) ∵P是∠AOB平分线上的一个点， PC⊥OA, PD⊥OB ∴PC=PD 在 Rt△POC和 Rt△POD，OP=OP ∴ Rt△POC ≌ Rt△POD ∴OC=OD,4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是C, D. 求证: (1)OC=OD;,4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是C, D. 求证: (2)OP是CD的垂直平分线.,证明： (2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分线上 由OC=OD得O在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线.,定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,如图, 在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三角形的内心.,∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF (三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).,比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理,习题1.10，第4题．,作 业,。