相似矩阵特征值与特征向量.ppt

3.1 相似矩阵 特征值与特征向量特征向量.特征值定义3.2一、基本概念问题（1） 特征值的特征向量唯一吗？表达形式怎样？对于A的每一个特征值齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式(如果存在)的值为零分析：问题（1）的回答：同一特征值的特征向量不唯一，表达形式为的通解设A为n阶方阵，矩阵 称为A的特征矩阵是的一个首项系数为1的n次多项式，称它为A的特征多项式.其行列式:1.写出特征多项式解得所有特征值计算特征值与特征向量的步骤解出方程组的一个基础解系得特征方程:2.对于每个不同的例1 设 求矩阵A的特征值与特征向量解:例2. 设求矩阵 A 的特征值与特征向量解：如果 的一个特征值，则注意：情形2---6均有相同的特征向量特征向量 未必相同二、 特征值与特征向量的性质定理3.3(1) n阶方阵A在复数域内有n个特征值;000-62例3：设 是方阵A的特征值，依次是对应于的特征向量，求证 线性无关推广情形：更一般地有:定理3.5所以， A 的所有线性无关的特征向量的个数为的基础解系对于n阶矩阵A、B，若存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，就称矩阵A与B相似，记作P-1AP定义3.1(3) 传递性：(2) 对称性：(1) 反身性：矩阵的相似关系满足：相似矩阵的性质矩阵与对角阵相似的条件定理3.1 n阶矩阵A能与对角阵相似A有n个线性无关的特征向量。

定义 若n阶矩阵A能与一n阶对角阵相似,则称A能对角化.A能否与对角阵相似?若能,求出可逆矩阵P与对角阵使得所以 A能与一个对角阵相似A的线性无关的特征向量的个数= A的阶数3所以 A不能与一个对角阵相似A的线性无关的特征向量个数小于A的阶数n=3推论1：若n 阶矩阵 A 有n 个不同的特征值，则A一定能与对角阵相似推论2：例6：判断下列矩阵能否与对角化，若能，写出对角阵。