2007年考研数学二真题及答案.doc

2007 年考研数学二真题一、选择题（1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分下列每题给出的~四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 ）(1)当时，与等价的无穷小量是𝑥→0+𝑥(A) (B)1 - 𝑒‒𝑥𝑙𝑛1 + 𝑥1 ‒𝑥(C) (D)1 +𝑥 ‒ 11 ‒ 𝑐𝑜𝑠 𝑥【答案】B解析】时(当𝑥→0+)𝑙𝑛1 + 𝑥1 ‒𝑥=[𝑙n (1 + 𝑥) ‒ 𝑙n(1 ‒𝑥)]~ 𝑥 𝑒𝑥~ ‒𝑥 1 +𝑥 ‒ 1~12𝑥1 ‒ 𝑐𝑜𝑠 𝑥~12𝑥几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定综上所述，本题正确答案是 B考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)函数在上的第一类间断点是𝑓(𝑥) =(𝑒1𝑥+ 𝑒)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥(𝑒1𝑥‒ 𝑒)[ ‒ 𝜋,𝜋]𝑥 =(A)0 (B)1(C) (D)‒𝜋2𝜋2【答案】A。

解析】A：由得lim 𝑥→0‒𝑒1𝑥= 0, lim 𝑥→0+𝑒1𝑥=+ ∞lim 𝑥→0‒f(𝑥) = lim 𝑥→0‒(𝑒1𝑥+ 𝑒)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥(𝑒1 𝑥‒ 𝑒)= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0‒𝑒1𝑥+ 𝑒𝑒1 𝑥‒ 𝑒∙𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥=𝑒 ‒ 𝑒∙ 1 =‒ 1lim 𝑥→0+f(𝑥) = lim 𝑥→0+(𝑒1 𝑥+ 𝑒)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥(𝑒1 𝑥‒ 𝑒)= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+𝑒1 𝑥+ 𝑒𝑒1 𝑥‒ 𝑒∙𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥= 1 ∙ 1 = 1所以是的第一类间断点；𝑥 = 0𝑓(𝑥)B：lim 𝑥→1f(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1(𝑒1 𝑥+ 𝑒)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥(𝑒1 𝑥‒ 𝑒)= ∞C：lim 𝑥→ - 𝜋2f(𝑥) =𝑙𝑖𝑚 𝑥→ - 𝜋2(𝑒1 𝑥+ 𝑒)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥(𝑒1 𝑥‒ 𝑒)= ∞D：lim 𝑥→ 𝜋2f(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 𝜋2(𝑒1 𝑥+ 𝑒)𝑡𝑎𝑛𝑥𝑥(𝑒1 𝑥‒ 𝑒)= ∞所以都是的第二类间断点。

𝑥 = 1,𝑥 =± 𝜋2𝑓(𝑥)综上所述，本题正确答案是 A考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直𝑦 = 𝑓(𝑥)[ ‒ 3, ‒ 2],[2,3]径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直[ ‒ 2,0],[0,2]径为 2 的下、上半圆周，设,则下列结论正确的𝐹(𝑥) = ∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡是(A)𝐹(3) =‒34𝐹( ‒ 2)(B)𝐹(3) =54𝐹(2)(C)𝐹( ‒ 3) =34𝐹(2)(D)𝐹( ‒ 3) =‒54𝐹( ‒ 2)【答案】C解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何𝐹(𝑥)意义确定𝐹(3) = ∫30𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫2 0𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫3 2𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =𝜋2‒𝜋8=38𝜋𝐹(2) = ∫20𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =𝜋2𝐹( - 2) = ∫- 20𝑓(𝑡)𝑑𝑡 - ∫0- 2𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =-(‒𝜋2)=𝜋2𝐹( - 3) = ∫- 30𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =- ∫0- 3𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =-[𝜋8‒𝜋2]=38𝜋则𝐹( ‒ 3) =34𝐹(2)【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)𝐹(2) > 𝐹(3) > 0又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝐹(𝑥) = ∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑑𝑡从而𝐹( ‒ 3) = 𝐹(3) > 0,𝐹( ‒ 2) = 𝐹(2) > 0显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是 C考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，-3 -2 -1 0 1 2 3𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑥𝑦定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误的是𝑓(𝑥)𝑥 = 0(A)若存在，则lim 𝑥→0𝑓(𝑥) 𝑥𝑓(0) = 0(B)若存在，则lim 𝑥→0𝑓(𝑥) + 𝑓( ‒ 𝑥) 𝑥𝑓(0) = 0(C)若存在，则存在lim 𝑥→0𝑓(𝑥) 𝑥𝑓'(0)(D)若存在，则存在lim 𝑥→0𝑓(𝑥) - 𝑓( ‒ 𝑥)𝑥𝑓'(0)【答案】D解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数lim 𝑥→0𝑓(𝑥)𝑥lim 𝑥→0x = 0lim 𝑥→0f(𝑥) = 0在处连续，所以,故,(A)正确；𝑓(𝑥)𝑥 = 0lim 𝑥→0f(𝑥) = 𝑓(0)𝑓(0) = 0(B)：若存在，则lim 𝑥→0𝑓(𝑥) + 𝑓( ‒ 𝑥)𝑥,则，故(B)正确lim 𝑥→0[𝑓(𝑥) + 𝑓( ‒ 𝑥)] = 𝑓(0) + 𝑓(0) = 0𝑓(0) = 0(C)存在，知，则lim 𝑥→0𝑓(𝑥)𝑥𝑓(0) = 0lim 𝑥→0𝑓(𝑥)𝑥= lim𝑥→0𝑓(𝑥) - 𝑓(0)𝑥= 𝑓'(0)则存在，故(C)正确𝑓'(0)(D)存在，lim 𝑥→0𝑓(𝑥) - 𝑓( ‒ 𝑥)𝑥= lim𝑥→0[𝑓(𝑥) - 𝑓(0)𝑥-𝑓( ‒ 𝑥) - 𝑓(0)𝑥]不能说明存在lim 𝑥→0𝑓(𝑥) - 𝑓(0)𝑥例如在处连续，𝑓(𝑥) = |𝑥|𝑥 = 0存在，但是不存在，故命题(D)不正确。

lim 𝑥→0𝑓(𝑥) ‒ 𝑓( ‒ 𝑥) 𝑥𝑓'(0)综上所述，本题正确答案是 D考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)曲线渐近线的条数为𝑦 =1 𝑥+ 𝑙𝑛⁡(1 + 𝑒𝑥)(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D解析】由于，lim 𝑥→0𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→01𝑥+ 𝑙n(1 + 𝑒𝑥)= ∞则是曲线的垂直渐近线；𝑥 = 0又 lim 𝑥→ ‒ ∞𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ ‒ ∞[1𝑥+ 𝑙n(1 + 𝑒𝑥)]= 0lim 𝑥→ + ∞𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞[1𝑥+ 𝑙n(1 + 𝑒𝑥)]=+ ∞所以是曲线的水平渐近线；𝑦 = 0斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出- ∞现在一侧 ∞𝑎 =lim 𝑥→ + ∞𝑦𝑥= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞1 𝑥+ 𝑙n(1 + 𝑒𝑥)𝑥= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞1𝑥2+ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞𝑙n(1 + 𝑒𝑥)𝑥= 0 + 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞𝑒𝑥1 + 𝑒𝑥= 1𝑏 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞(𝑦 ‒ 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→ + ∞[1𝑥+ 𝑙n(1 + 𝑒𝑥)‒ 𝑥]= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞[1𝑥+ 𝑙n(1 + 𝑒𝑥)‒ 𝑙𝑛𝑒𝑥]= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ + ∞[1 𝑥+ 𝑙n(1 +1𝑒𝑥)]= 0则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。

𝑦 = 𝑥综上所述，本题正确答案是 D考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6)设函数在内具有二阶导数，且,令𝑓(𝑥)(0, + ∞)𝑓''(𝑥) > 0,则下列结论正确的是𝑢𝑛= 𝑓(𝑛)(𝑛 = 1,2,⋯)(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散𝑢1> 𝑢2{𝑢𝑛}𝑢1> 𝑢2{𝑢𝑛}(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散𝑢10𝑦 = 𝑓(𝑥)显然，图 1 排除选项(A)，其中；图 2 排除选项𝑢𝑛= 𝑓(𝑛)→ ‒ ∞(B)；图 3 排除选项(C),其中；故应选(D)𝑢𝑛= 𝑓(𝑛)→ + ∞图 1 图 2 图 3【方法二】排除法：取,显然在，,𝑓(𝑥) = (𝑥 ‒ 2)2(0, + ∞)𝑓''(𝑥) = 2 > 0𝑦𝑢1𝑢2𝑥O 1 2𝑦𝑢1𝑢2𝑥O 1 2𝑦𝑢1𝑢2𝑥O 1 2,但，排除 A；𝑓(1) = 1 > 𝑓(2) = 0𝑢𝑛= 𝑓(𝑛) = (𝑛 ‒ 2)2→ + ∞取在上，且,但𝑓(𝑥) =1 𝑥,(0, + ∞)𝑓''(𝑥) > 0,𝑓(1) = 1 > 𝑓(2) =1 2,排除 B；𝑢𝑛= 𝑓(𝑛) =1 𝑛→0取 在上，，且,𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥,(0, + ∞)𝑓''(𝑥) > 0𝑓(1) = e 0,(1 2𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑛) ‒ 𝑓(2) + 𝑓(2) = 𝑓'(𝜉)(𝑛 ‒ 2) + 𝑓(2) (2 0𝜉 > 𝑐𝑓'(𝜉) > 𝑓'(𝑐) > 0𝑓(𝑛) > 𝑓'(𝑐)(𝑛 ‒ 2) + 𝑓(2)→ + ∞则有 𝑢𝑛= 𝑓(𝑛)→ + ∞综上所述，本题正确答案是 D。

考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(7)二元函数在点处可微的一个充分条件是𝑓(𝑥,𝑦)(0,0)(A)lim (𝑥,𝑦)→(0,0)[𝑓(𝑥,𝑦) ‒ 𝑓(0,0)] = 0(B),且𝑙𝑖𝑚 𝑥→0𝑓(𝑥,0) ‒ 𝑓(0,0)𝑥= 0𝑙𝑖𝑚 𝑦→0𝑓(0,𝑦) ‒ 𝑓(0,0)𝑦= 0(C)lim (𝑥,𝑦)→(0,0)𝑓(𝑥,𝑦) ‒ 𝑓(0,0)𝑥2+ 𝑦2= 0(D),且𝑙𝑖𝑚 𝑥→0[𝑓' 𝑥(𝑥,0) ‒ 𝑓' 𝑥(0,0)] = 0𝑙𝑖𝑚 𝑦→0[𝑓' 𝑦(0,𝑦) ‒ 𝑓' 𝑦(0,0)] = 0【答案】C解析】由可得lim (𝑥,𝑦)→(0,0)𝑓(𝑥,𝑦) ‒ 𝑓(0,0)𝑥2+ 𝑦2= 0𝑙𝑖𝑚 𝑥→0𝑓(𝑥,0) ‒ 𝑓(0,0) 𝑥= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0𝑓(𝑥,0) ‒ 𝑓(0,0)𝑥2+ 02∙𝑥2𝑥= 0即,同理𝑓'𝑥(0,0) = 0𝑓'y(0,0) = 0从而lim 𝜌→0[𝑓(∆𝑥,∆𝑦) ‒ 𝑓(0,0)] ‒ (𝑓'𝑥(0,0)∆𝑥 + 𝑓'y(0,0)∆𝑦)𝜌= 𝑙𝑖𝑚 𝜌→0𝑓(∆𝑥,∆𝑦) ‒ 𝑓(0,0)𝜌= 𝑙𝑖𝑚 𝜌→0𝑓(∆𝑥,∆𝑦) ‒ 𝑓(0,0)∆𝑥2+ ∆𝑦2= 0根据可微的判定条件可知函数在点处可微𝑓(𝑥,𝑦)(0,0)综上所述，本题正确答案是 C。

考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件(8)设函数连续，则二次积分等于𝑓(𝑥,𝑦)∫𝜋𝜋2𝑑x∫1𝑠𝑖𝑛𝑥𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦(A) ∫10𝑑𝑦∫𝜋 𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑦𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥(B) ∫1 0𝑑𝑦∫𝜋 𝜋 ‒。