八下第十八章平行四边形 课本电子版.doc

第十八章见本文档P10 P20的批注 两处小错误改完即OK 平行四边形与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别具一格的窗棂……现实世界中很多物体都有平行四边形的形象为什么平行四边形形状的物体到处可见呢？这与平行四边形的性质有关前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法本章我们将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性质定理和判定定理；进一步体会研究图形几何性质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推理证明它们18.1 平行四边形 平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等（图18.1-1），都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗？ 我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）．平行四边形用“”表示，如图18.1-2，平行四边形记作“”． 18.1.1 平行四边形的性质 由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．下面我们对它进行证明． 上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明． 证明：如图18.1-3，连接.，，，.又是和的公共边，．，，．请同学们自己证明．这样我们证明了平行四边形具有以下性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．例1 如图18.1-4，在平行四边形中，，，垂足分别为，．求证．证明：四边形是平行四边形，，，又，．． 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？已知平行四边形的一个内角的度数，你能确定其他内角得到度数吗？ 距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的性质与概念，介绍两条平行线之间的距离．如图18.1-5，， ，，与 ，分别相交于，，，四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形是平行四边形，．也就是说，两条平行线之间的任何平行线段都相等．两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系和区别？从上面的结论我们可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线上的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线上的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图18.1-6，，是上的任意一点，，是垂足，线段的长就是，之间的距离．如图练习1．在平行四边形中， 已知，，求它的周长；已知，求其余各内角的度数．2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉后叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，线段和的长度有什么关系？为什么？ 上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研究平行四边形对角线的性质． 探究 如图18.1-7，在平行四边形中，连接，，并设它们相交于点，与，与有什么关系？你能证明你发现的结论吗？ 我们猜想，在平行四边形中，，． 与证明平行四边形的对边相等，对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想．请你结合图18.1-8完成证明． 由此我们又得到平行四边形的一个性质: 平行四边形的对角线互相平分．例2 如图18.1-9，在平行四边形中，，，，求，，，的长，以及平行四边形的面积．解：四边形是平行四边形，，．，是直角三角形．根据勾股定理，．又，，．练习1．如图，在平行四边形中，，，．的周长是多少？与的周长哪个长？长多少？2．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于，．求证．18.1.2 平行四边形的判定思考 通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形就是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？可以证明，这些逆定理都成立．这样我们得到平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．你能根据平行四边形的定义证明它们吗？下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．如图18.1-10，在四边形中，，相交于点，且，．求证：四边形是平行四边形． 证明：，，， ．．．同理得．四边形是平行四边形．由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．也就是说，当定理的条件与结论互换之后，所得命题依然成立．例3 如图18.1-11，平行四边形的对角线与相交于，，是上的两点，并且．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形，，．，，即． 又， 四边形是平行四边形． 你还有其他的证明方法吗？思考 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形，如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 我们猜想这个结论正确，下面进行证明． 如图18.1-12，在四边形中，，．求证四边形是平行四边形．证明：连接． ，． 又，，． ．四边形的两组对边分别相等，它是平行四边形．于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？ 例4 如图18.1-13，在平行四边形中，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形．证明：四边形是平行四边形，，．又，，．四边形是平行四边形．练习1．如图，，，．图中有哪些互相平行的线段？2．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证．3．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗？4．如图，在平行四边形中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，，为垂足．求证：四边形是平行四边形．前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题．如图18.1-14，在中，，分别是，的中点，连接．像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？探究 观察图18.1-14，你能发现的中位线与边的位置关系吗？度量一下，与之间有什么数量关系？我们猜想，，．下面我们对它们进行证明．如图18.1-14，，分别是的边，的中点．求证：且．分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将延长一倍后，可以将证明转化为延长后的线段与相等．又由于分别是的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明． 证明：如图18.1-15，延长到点，使，连接，，．，，四边形是平行四边形，．．四边形是平行四边形，．又，，且．“”表示平行且相等． 通过上述证明，我们得到三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．练习1．如图，在中，，，分别是，，的中点．以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？2．如图，直线，在，上分别截取，，使，连接，．和有什么关系？为什么？3． 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．怎样测出，两点间的距离？根据是什么？习题18.1复习巩固1．如果四边形是平行四边形，，且的长是平行四边形周长的，那么的长是多少？2．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，那么光线与纸板左上方所成的是多少度？为什么？3．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，．求的周长．4． 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形．5． 如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．6． 如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．7． 如图，直线，与的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与面积相等的三角形吗?综合运用8． 如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，．求顶点的坐标．9． 如图，在梯形中，．已知，求证；已知，求证．10． 如图，四边形是平行四边形，，平分且交于点，且交于点．求的大小．11．如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？12． 如图，在四边形中，，，，．求的长和四边形的面积．13． 如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？拓广探索14． 如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点处，并使细木条可以绕点转动．拨动细木条，使它随意停留在任意位置．观察几次拨动的结。