高等数学测试题及详细解答复习用.docx

《高等数字》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编第一单元函数与极限 1第一单元函数与极限测试题详细解答 5第二单元导数与微分 W第二单元导数与微分测试题详细解答 12第三单元微分中值定理与导数应用 16第三单元 微分中值定理与导数应用测试题详细解答 19第四单元不定积分 24第四单元 不定积分测试题详细解答 26第五单元定积分 31第五单元 定积分测试题详细解答 33第六单元 定积分的应用 37第六单元定积分的应用测试题详细解答 40第九单元重积分 42第九单元 重积分测试题详细解答 46第十章 曲线积分与曲面积分 50第十单元曲线积分与曲面积分测试题详细解答 54第十二单元微分方程 60第十二单元微分方程单元测试题详细解答 63第一单元函数与极限一、填空题X1、巳知/(sin—) = l + cosx ,则/(cosx) = 2r (4+ 3x)22^ Inn - = ox(l 一 厂)3、x->0时，tanx-sinx是x的 阶无穷小4^ lim/sin —= 0成立的人为 1 x 5、lim ^A arctanx= ex +1 r > 06、f(x) = < ' 在x =。

处连续，则x + b, x<0ln(3x+l)7、hm = od 6x8、设/(x)的定义域是［0 J,则/(Inx)的定义域是 9、函数y = l + ln(x + 2)的反函数为10、设是非零常数，则limC^r =o ir X-ai”、巳知当X f 0时，(1 +/户-1与(：0$不-1是等价无穷小，则常数4 =o3 r12、函数/(x) = arcsin二一的定义域是 1 + x13、lim + 2 _ Jx〜-2 =0 n—>+oo14、设lim(" =8 ,则o1Tx x-a15、lim (yfii + J〃 + l)(J〃 + 2 - >fn) = n—+oc二、选择题1、设/(x),g(x)是［T,/］上的偶函数，田X)是［-/,/］上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数A) f(x) + g(x) ; (B) /(x)+ /?(%) ; (C) f(x)［g(x) +力⑼;(D) f(x)g(x)h(x) 02、a(x) = F，伏x) = l-★,则当x f1 时有 A) a是比夕高阶的无穷小； (B)夕是比/T低阶的无穷小；(C)与夕是同阶无穷小； (D) a〜0。

jjl + x-13、函数/(x) = |后二J' '*°("之一1)在x = 0处连续，则攵=o［k x = 03 2(A) — ; ( B ) — ; (C) 1 ； (D) 0 o4、数列极限 lim n［ In(〃- 1) - In 〃］= >oc (A) 1;(B) -1;(C) s；(D)不存在但非85、sinx x + X= 01XCOS —x<0x = 0x>0，则x = 0是/(x)的(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)振荡间断点6、以下各项中和g(x)相同的是()(A) /(x) = lgx2, g(x) = 21gx;(B ) f(x) = x , g(x) = V?;(C) f(x) = Vx4 -x3g(x) = Xy/x- \ ； (D)/(x) = 1, g(x) = sec2 x-tan2 x 0sinx / 、7、 lim = ( )…Ixl(A) 1; (B) -1;i8、 lim(l-x)x =() atO(C) 0; (D)不存在A) 1; (B) -1; (C) e;(D) eL9、/(x)在/的某一去心邻域内有界是liin /(x)存在的()(A)充分必要条件；(B)充分条件；(C)必要条件；(D)既不充分也不必要条件.10、•/ lim x(\lx2 +1 - x)=( )AT8(A) 1; (B) 2; (C) ；； (D) 0o11、设｛"〃 ｝，应｝，｛qj 均为非负数列，且 lim cin = 0, lim bn = 1,lim g = s ,则必有( “一>x n—>oc(A) 4 对任意〃成立； (B)勾VC〃对任意〃成立;(C)极限lima〃c〃不存在；(D)极限lim Z;〃c〃不存在。

A)等于2; (B)等于0;三、计笄解答1、计算下列极限Y(1) liin2nsin—T;2(C)为8； (D)不存在但不为8cscx-cotxlim D X/ 、 r (2x+\\(4) hm ;•7 2x-l J/、.. 8cos~ x — 2cos工一1(5) lim 1. 2cos~ x + cosx-l(6)limJl + xsinx - Jcosxxtanx(7) lim —)—+ —!— + ・・• + ! 1 x 2 2x3 n(n +1) J(8) limx->2lll(l + y/2 — X )arctanV4-x* 2厂+13 x试确定之值，使lim ax - b =—21+岸+…+2 34、利用极限存在准则求极限8、 \

— JR x(l — ) it00 -x +x_ _ ” r tan x-sin x r tanx(l-cosx) r Z1 、八3、高阶 o *.* lun = lim = Iim(l - cosx) = 0 ,XT) X XT X A-MJ/. tan x-sill x是x的高阶无穷小4、攵 > 0e sin -为有界函数，所以要使lim xk sin - = 0 ,只要lim xk = 0 ,即攵> X A-M) X5、 0 o lim ex arctanx = 0 (\- lim ex = 0, arctanx e ,—))— x->-« 2 26、〃 = 2 *.• lim f(x) = lim (x + b) = h , lim f(x) = lim (ex +1) = 2 , io- .tt 3+ ktcf/(0) = b, ."./? = 2 o9、•・• y = \ + ln(x + 2),「.(y — 1) = ln(x + 2) , x+2 = e,・•・x = el - 2 ,・・.y = 1 + ln(x + 2)的反函数为y = - 210、e2a原式=lim (1 + *-)百~28 x-a3 、2 1 、 111、a =由(1 +。

/)3 一 i—与cosx-l— — X2,以及2 3 21 1 2r (l + «x2)5-l r 六厂 2 ।lim = lim = " — « = 1 ,3 cosx-1 .D 1 2 3——X212、由反三角函数的定义域要求可得3K 1 1解不等式组可得-4-X-2 > =>/3)的定义域为一：qx<|1 + xHO xw-l 4 213、0lim Jn2 +2 - -2 = lim〃->+x(J厂 + 2 - Jx' - 2)(Jx- + 2 + - 2)7x2 + 2 + Vx2 - 2=lim "Tn?)〃“J/ + 2 +Jr-=0 o14、ln2r /X + 2"、r hm( )rSB x-aq x-a 3ax= lim(l +』-产二IX x-a15、23a = In 8 = — In 8 =3In 23=In 2 olim (Vn + J〃 + l)(J〃 + 2 一 6)=lim(\ln + J〃 + l)x2(J 〃 + 2 + yfn^二、选择题1、选(D)令尸(x) = f(x)g(xM(x),由f(x),g(x)是［-/,/］上的偶函数,〃⑶是［一单］上的奇函数,二月(一工)=f(_x)g(_x)/7(_x) = _/(x)g(x)/7(x) = -F(x) or * r a(X) r 17 V l — X2、选(C ) *.* lim = hm t=^ = lim ,—/?(x) i (l + x)(l — W) — (l + x)[l-yi-(l-x)]「 1 - X 3=hm =—5(l + x)—(l - x) 21 > -x3、选 (A) lim f (x) = lim :"，~~- = lim -y— =—" Vi+x-1 7 1 2—x 34、选(B) lim n[\n(n -1) - In n] = lim - hi(l - -)-n = -1 .l—X .1—R JJ工选(C) /((r)= i , /(o‘)= o , /(o)= o 6、选(C )在(A)中: /(x) = In a2 的定义域为 x W 0 ,而 g(x) = 2In x的定义域为 x > 0, f(x) W g(x)故不正确在(B) •.•/(幻=工的值域为(一吟+8),以外二^7的值域为工〉。

故错在(C)中,••/(x) = l的定义域为R, g(在=sec?%一 tanx的定义域为{x£/?,xHk;r + f} ,/(X)工 g(x),故错 乙r /「、 r sinx r sinx 〔 r sinx r sinx t7、选(D) ,/ lim = Inn = 1 , lim = 一 Inn = - 1.iT)- I x I io' x .io- | x I is x不存在「 sinxlim —<-i) i8、选(D)d Ixlv lim(l-x) — i —— ——lim e = lim (x +De *T =sv->r x — 1当X->1时函数没有极限，也不是8三、计算解答1、计算下列极限：Y x(1) 解：lim 2" sin —r = lim 2"・—r = 2x Q 2"- “-a 2”-1 COSX X1,・ CSCX = COtX sin Y sin、・ I -COSX 7 1(2) 解：lim = Inn ——sin A = lim = lim —=一3 x 7 x z xsinx 2 = lim[l + (—x)] ktO xT)9、选(C)由函数极限的局部有界性定理知，lim/(x)存在，则必有凡的某一去心邻域使/(x)有界,X->A(|。