杨辉三角与布莱尼兹三角.ppt

授课教师：符日仕 授课班级：08电子技术与应用杨辉：杭州钱塘人，南宋末年数学家、数学教育家他著作甚多，由他编著的数学书共五种二十一卷，分别是《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷其中后三种合称为《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，后流传世界杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“1”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明国发现在 这个表不晚于11世纪二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列 出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深 入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1）例如 ： ，它的两项的系数是1和1；，它的三项系数依次是1、2、1；，它的四项系数依次1、3、3、11.什么是杨辉三角？ 规律：（1）杨辉三角的第2K-1行（K是正整数）的各数字之除了两端为1，其余都是偶数。

2）行数为素数（质数）时，如第2，3，7，11等行，除了两端的1外，行数 可以整除其余各数3）计算一下杨辉三角中各行数数学之和第2行 1+1=21 第3行 1+2+1=4=22 第4行 1+3+3+1=8=23 第5行 1+4+6+4+1=16=24 第6行 1+5+10+10+5+1=32=25 第n+1行 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnr+… Cnn-1+ Cnn=2n第n+1行 数字的和为2n，前n行所有数的和为2n-1, 它恰好比第n+1的和小2 n小14）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩出发，向右（左）上方作 一条和左（右）斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数例如：10＝1＋2＋3＋4， 20＝1＋3＋6＋10，．．．＝（第4条斜线线）根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：1＋1＋1＋ ．．．＋1＝（第1条斜线）1＋2＋3＋ ．．．＋＝（第2条斜线）1＋3＋6＋ ．．．＋＝（第3条斜线）1＋4＋10＋ ．．．＋（第r+1条斜线）于是有一般性结论：一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第 条斜线上的第 个数．1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足, a1=1, a2=1, 且an = an-1 + an-2 (n≥3)（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？这就是著名的斐波那契数列（斐波那契，中世纪意大利数学家，传世之作《算术之法》）．？问题 ：杨辉杨辉 三角与“堆垛术垛术 ”（三角垛垛，正方垛垛， ．．．） 我国古代数学的伟伟大成就——堆垛术垛术 ．2、将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层 是一个圆弹，求总数：1、计算11的1、2、3、……次幂，看一看与杨辉三角有 什么有趣的联系？观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2）（1）表中每个数都是组组合数，第n行的第r+1个数是． （2）三角形的两条斜边边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加， 也就是． （3）杨辉杨辉 三角具有对对称性（对对称美），即． （4）杨辉杨辉 三角的第n行是二项项式（a+b）n展开式的二项项式系数，即杨辉三角基本性质：介绍杨辉三角蕴含的基本规律 ：德国数学家莱布尼兹在研究中发现了下面的单位分数三角形，其特点 是单位分数是分子为1，分母为正整数的分数。

由于这个三角形最早是由莱布尼兹作出，所以叫做莱布尼兹单位分数三角形，或简称为莱布尼兹三角形 根据前五行的规律，可以知道第六行的第三个数是（ 1/60 ） 在观察中进行角度的转换，打破常规，从下到上杨辉三角中，一肩扛两数，是从上到下习惯观察顺序，上行两数的和与下行中间正对数相等；莱布三角形中，一脚踏两数，是自下而上的观察顺序，下行两数的和与上行中间正对数相等. 布莱尼兹三角与杨辉三角有着相似的性质：（1）第n+1条线上所有数之和等于1/n即，某些由单位分数组成的 无穷级数可以由布莱尼兹三角求得如：1/2 = 1/3 + 1/12 + 1/30 + …1/4 = 1/5 + 1/30 + 1/105 + …（2）布莱尼兹三角中每一个数等于其脚下两个数之和如：1/2 = 1/3 + 1/6 X 1/6 = 1/12 + 1/12 X 1/12 = 1/20 + 1/30科学的发现离不开仔细的观察，数学领域中也是如此著名数学学欧拉曾经说过：“在被称为纯数学的那部分数学中，观察无疑地也占有重要的地位我该在平时的学习和生活中注意观察，学会观察，善于观察，不断提高自己的观察能力。