高考数学学生用书第3节圆的方程.docx

第3节 圆的方程【课标要求】1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．2．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．【知识衍化体验】知识梳理1．圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ．2．圆的标准方程（1）以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为 ．（2）特殊的，x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为 ，半径为 ．3．圆的一般方程方程变形为．（1）当时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆；（2）当时，该方程表示一个点 ；（3）当时，该方程不表示任何图形．4．点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，M到C的距离为d，M与圆C的位置关系：（1）点M(x0，y0)在圆上⇔ ⇔ ；（2）点M(x0，y0)在圆外⇔ ⇔ ；（3）点M(x0，y0)在圆内⇔ ⇔ ．[微点提醒]1．到两定点距离之比等于定值（大于0且不为1）的点的轨迹也是圆（阿波罗尼斯圆）．2．圆心在坐标原点半径r的圆的方程为x2＋y2＝r2，圆的标准方程可以通过三角换元得到圆的参数方程：3．直径式方程：以，为直径端点的圆的方程为．4．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为基础自测疑误辨析多项选择题1．下列说法正确的是（ ）A．确定圆的几何要素是圆心与半径．B．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．C．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0．D．圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是．教材衍化2．（必修2P111练习3（2）改编）圆心在直线上，且过两点，的圆的标准方程为 ．3．（必修2P111练习8改编）若方程表示圆，则实数的取值范围是 ．考题体验4．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，1) B．(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1 5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为(　　)A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝16．已知三点，，，则△外接圆的圆心到原点的距离为（ ）A． B． C． D．【考点聚焦突破】考点一　求圆的方程问题【例1】（1）过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆的方程为________．（2）已知圆C关于直线2x－y－7＝0对称，且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③相切两圆的连心线经过切点；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．【训练1】（1）已知点A是Rt△ABC的直角顶点，且A(a，2)，B(－4，a)，C(a＋1，1)，则△ABC的外接圆的方程是____________．（2）已知圆C的圆心在轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线 的距离为，则圆C的方程为 ．考点二　与圆有关的最值问题角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题【例2-1】 已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．（1）求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；（2）求x－2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值．规律方法1．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．2．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：（1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如m=(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度2 利用对称性求最值【例2-2】已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A．5－4 B．－1C．6－2 D．规律方法求解形如|PM|＋|PN|（其中M、N为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：（1）“动化定”，把圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）“曲化直”，即将折线段之和（差）转化为同一条直线上的两线段和（差），一般要用对称性解决．【训练2】（1）已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　)A．3－ B．3＋C．3－ D．（2）过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)A． B． C． D．（3）光线从A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为________．考点三　与圆有关的轨迹问题【例3】（1）设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，P为线段MN的中点，求点P的轨迹方程．（2）已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3,0）的距离之比为，求点M的轨迹方程为．规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程．（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【训练3】（1）圆中经过原点的弦的中点的轨迹方程是________．（2）已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（Ⅰ） ； （Ⅱ） .反思与感悟[思维升华]1．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．确定圆的方程，不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个参数，需要三个独立的条件，因此利用待定系数法求解时需要建立三个方程的方程组．2．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．[易错防范]1．在研究圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，要注意D2＋E2－4F>0这一隐含条件．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹在得出方程后还要指明轨迹的具体曲线．。