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第三章 各向异性弹性力学基础 §3-1 各向异性弹性力学基本方程 基本未知量：基本方程： 1、平衡方程分量形式为：2、几何关系（小变形）分量形式为：变形协调方程：六个应变分量应该满足的一 个关系，即6个独立等式：共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的 不是恒等式就是由于ij的对称性而都是重复 的 前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系 3、边界条件力边界条件：位移边界条件：4、各向异性本构方程（小变形）刚度矩阵柔度矩阵各向异性体的弹性应变能为：拉-拉耦合 （泊桑效 应）剪-剪耦 合拉剪耦 合§3-2 各向异性弹性力学的本构方程一、完全各向异性（21个弹性常数）其中Sij为柔度系数，4、5和6即为剪应 力23、31和12可见各向异性体一般具有耦 合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以 引起正应变；反之亦然 二、有一弹性对称面（13个弹性常数）弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴利用两个方向下材料的应变能密度表达式 应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单 位体积应变能的结果是相同的）可以推得： 设仅有，即有而在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有同理：独立常数减少为13个，即如果，其余应力分量为零，则有：此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。

三、正交各向异性（9个弹性常数）正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况有三个互相正交的弹性对称面）取为三个正交弹性主轴，如图所示：由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：（即）变号，可得：即：由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性 体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主 轴系里，正交异性材料仍有耦合现象纤维在横截面内 按矩形排列的单向纤 维复合材料，宏观而 言则是一正交异性体 共有9个弹性常数：1轴沿纤维方向，并有，而是即没有对称性可展开为：四、横观同性（5个弹性常数）纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有故只有5个独立常数：（或），（或）由工程应变形式的展开式为：即：五、各向同性（2个弹性常数）六、弹性常数的取值范围判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应 变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定 二次型为的正定二次型的充要条件是矩阵的所有主要主子式大于零，即：1、对于各向同性，可推得：实际上一般为：2、对于正交各向异性，有： ，…… 等等作业：1.推导正交各向异性材料柔度矩阵为 零的分量；2.推导正交各向异性材料中各个常数 的取值范围。