实变的一些习题解答.pdf

几个实变函数习题 December 1, 2011 1.只有孤立点的集和没有聚点的集是否相同? 答.若E没有聚点,则特别地,对任何x ∈ E, x不是E的聚点,从而存 在ε 0,使得B(x,ε) ∩ E = {x}.故E中的点都是E的孤立点.这说明没有 聚点的集一定只有孤立点.反之,只有孤立点的集是可以有聚点的.例 如E = {1 n : n ∈ N+}. E中的点都是E的孤立点,但E有聚点0. 2.试做下列类型的点集. (1)点集E,使E ⊂ E0. 解.令E = (0,1),则E0= [0,1] ⊃ E. (2)点集E,使E ⊂ ∂E. 解.令E = Q,则∂E = R ⊃ E. (3)点集E,使得(E0)0, ∅,而((E0)0)0= ∅. 解.令E = {1 n + 1 m : n,m ∈ N+}.则E0= {0,1, 1 2, 1 3,., 1 n,.,}, (E 0)0 = {0}, ((E0)0)0= ∅. (4)点集E,既非开集又非闭集. 解.令E = (0,1],则E既非开集又非闭集. 3.设E是Cantor三分集的余集G0的构成区间的中点所组成的集,试 求E0. 解.注意到余集的每个构成区间只含有E中1个点,从而E0∩ G0= ∅,故E0⊂ C.另一方面,对任何x ∈ C = C0,存在C中互异点列{xn},使 得xn→ x(n → ∞).对任何正整数n,在由xn, xn+1构成的闭区间中必包 含G0的一个构成区间,从而包含该构成区间的中点,设这个中点为yn.显 1 然yn→ x(n → ∞).这意味着x ∈ E0.从而C ⊂ E0.最后得E0= C. 4.设G1,G2是Rn中的互不相交的开集,试证G1∩G2= ∅. 证一.设x ∈ G1,则存在ε 0,使得B(x,ε) ⊂ G1.根据G1∩ G2= ∅得 到B(x,ε) ∩G2= ∅.故x 0,使得 f(x) x − x0 , 0,∀x ∈ (x0− δ, x0) ∪ (x0, x0+ δ), 即 f(x) , 0,∀x ∈ (x0− δ, x0) ∪ (x0, x0+ δ). 从而 (x0− δ, x0+ δ) ∩ E = {x0}. 故x0为E的孤立点. 7.证明:内域E◦是含于E的一切开集的并,也是含于E的最大开集; 闭包E是包含E的一切闭集的交,也是包含E的最小闭集. 2 证.要证明 E◦= [ G⊂E,G开 G,E = \ F⊃E,F闭 F. 令 A = [ G⊂E,G开 G, B = \ F⊃E,F闭 F. 若x ∈ A,则存在开集G ⊂ E使得x ∈ G,从而x ∈ E◦.故A ⊂ E◦.若x ∈ E◦, 则存在ε 0使得B(x,ε) ⊂ E.注意到B(x,ε)为包含x的开集,故x ∈ A.这说 明E◦⊂ A.从而E◦= A.由A的表达式可知是含于E的一切开集的并,也是 含于E的最大开集. 对任何闭集F ⊃ E有F ⊃ E,故B ⊃ E.另一方面,若x 0, 使B(x,δ) ∩ E = ∅,故E ⊂ {B(x,δ).注意到{B(x,δ)为包含E的闭集.由此可 知x 0, B(x,δ) ∩ E , ∅, B(x,δ) ∩ Ec, ∅ ⇔ x ∈ E ∩ Ec. 从而∂E = E ∩ Ec. 若E为闭集,则E = E = E◦∪ ∂E. 若E = E◦∪ ∂E,则显然有∂E ⊂ E. 若∂E ⊂ E,则对任何x ∈ E0, x ∈ E◦或x ∈ ∂E,从而x ∈ E.即E0⊂ E, E为 闭集. 以上说明: E为闭集⇔ E = E◦∪ ∂E ⇔ ∂E ⊂ E. 若E为开集,则对任何x ∈ E,存在δ 0,使得B(x,δ) ⊂ E,故x 0使得B(x,δ) ∩ Ec= ∅.故B(x,δ) ⊂ E.从而E为开集. 3 以上说明: E为开集⇐⇒ E ∩ ∂E = ∅. 9.在Rn中只有∅和Rn是既开又闭的点集. 证.如果存在E ⊂ Rn, E , ∅, E , Rn,使得E为既开又闭的集合,令 f(x) =              1,x ∈ E, 2,x ∈ Rn\ E. 则f为Rn上连续函数,然而它的值域f(Rn) = {1,2}不是一个区间.矛盾! 10.如果E ⊂ Rn, E , ∅, E , Rn,则∂E , ∅. 证 若∂E = ∅,则由第8题可知E ∩ Ec= ∅,故E ⊂ E.所以E为闭集.同 理Ec为闭集,故E是既开又闭的点集.根据第9题, E = ∅或E = Rn.从而 若E , ∅, E , Rn,则∂E , ∅. 11.设A, B是任意互不相交的闭集,证明必有开集G1,G2使G1⊃ A,G2⊃ B,且G1∩G2= ∅. 证 令G1= {x : d(x,A) 0,∀x ∈ A, d(x, B) = 0,d(x,A) 0,∀x ∈ B. 从而取上题解答中的开集G1,G2即满足要求.上题是本题的特例. 13.证明: Rn中的子集E为闭集的充分必要条件是,对任意x0∈ Rn, 存在y0∈ E,使得 |x0− y0| = d(x0,E). 证. =⇒设E为闭集.根据点到集合的距离的定义,对任何正整数k, 存在yk∈ E,使得 d(x0,E) 6 |x0− yk| 0.因此mB = mA+m(B\A) mA. 16.设E ⊂ [0,1]为可测集.若mE = 1,则E = [0,1];若mE = 0,则E◦= ∅. 证.注意到简单的事实1 = mE 6 mE 6 1,从而mE = 1.因此m([0,1] \ E) = 0.再由m((0,1) \ E) = m([0,1] \ E) = 0知(0,1) \ E = ∅,即(0,1) ⊂ E, 故[0,1] ⊂ E ⊂ [0,1].最后得E = [0,1]. 若mE = 0,则显然E无内点,因此E◦= ∅. 17.设{Ek}为Rn中的集列,满足 ∞ P k=1 m∗Ek 1, 5 根据上限集的定义和次可加性,得到 m∗ ? lim k→∞ Ek ? = m∗         ∞ \ i=1 ∞ [ k=i Ek         6 m∗         ∞ [ k=i Ek         6 ∞ X k=i m∗Ek. 令i → ∞,即得到m∗ ? lim k→∞ Ek ? = 0.再由lim k→∞ Ek⊂ lim k→∞ Ek得到m∗ lim k→∞ Ek ! = 0. 18. (1)设{Ek}是区间[0,1]中的可测集列, mEk= 1(k = 1,2,.).试 证m( ∞ T k=1 Ek) = 1. (2)若Ek⊂ [0,1], mEk n−1 n (k = 1,2,.,n).试证m( n T k=1 Ek) 0. (3)若Ek⊂ [0,1],1 mEk αk 0(k = 1,2,.).试问{αk}要满足什么条 件能使m( ∞ T k=1 Ek) 0?又若要使m( ∞ T k=1 Ek) 1 − δ(δ是一个充分小的正数). {αk}应该如何? 解. (1)注意到m([0,1] \ Ek) = 1 − mEk= 0(k = 1,2,.,).从而 m        [0,1] \ ∞ \ k=1 Ek         = m         ∞ [ k=1 [0,1] \ Ek         6 ∞ X k=1 m([0,1] \ Ek) = 0. 故m ∞ T k=1 Ek ! = 1 − m [0,1] \ ∞ T k=1 Ek ! = 1. (2)注意到m([0,1] \ Ek) = 1 − mEk 0. (3)由以上分析可知,若{αk}满足 ∞ P k=1(1 − α k) 6 1,就有m( ∞ T k=1 Ek) 0. 若{αk}满足 ∞ P k=1(1 − α k) 6 δ,就有m( ∞ T k=1 Ek) 1 − δ. 19.试证下列(1)和(2)都是点集E可测的充分必要条件. (1)对任意ε 0,存在开集G和闭集F,使得F ⊂ E ⊂ G且m(G \ F) 0,存在开集G1,G2: G1⊃ E,G2⊃ Ec,使得m(G1∩G2) 0,存在开集G和闭集F,使得G ⊃ E ⊃ F, m(G\E) 1,根据题设条件,存在开集Gk⊃ E,闭集Fk⊂ E,使得m∗(Gk\ Fk) 0,根据f在[a,b]上的一致连续性,存 在δ 0,使对任意x0, x00∈ [a,b],只要|x0− x00| 0,则f(0) = 0,存在充分大的R 0使 得f(R) = m∗E,从而f(0) 6 α 6 f(R).下证f在[0,R]上连续.事实上,对任 意r1,r2∈ [0,R], r1 m∗(lim k→∞ Ek). 证.先证:对任何E ⊂ Rn,存在可测集G,使得m∗E = mG. m∗E = ∞的 情形是平凡的(取G = Rn即可),故可设m∗E m∗(lim k→∞ Ek). 事实上,对任意正整数k,取可测集Gk⊃ Ek,使得mGk= m∗Ek.从而 m∗ lim k→∞ Ek ! 6 m lim k→∞ Gk ! = m        lim i→∞ ∞ \ k=i Gk         = lim i→∞ m         ∞ \ k=i Gk         6 lim i→∞ inf k≥i mGk = lim i→∞ inf k≥i m∗Ek = sup i1 inf k≥i m∗Ek = lim k→∞ m∗Ek. 23.对于任意点集A, B ⊂ Rn,定义它们的距离为 d(A, B) = inf{d(x,y) : x ∈ A,y ∈ B}. 设d(A, B) 0,证明: m∗(A ∪ B) = m∗A + m∗B. 证.令G = {x ∈ Rn: d(x,A) 0,根据外 测度的定义,存在E的L覆盖{Ik},使得 ∞ X k=1 |Ik| a) = E1∩ E(f a).故E1(f a)可测,从而f在E1上可测. 27.证明:若函数f在E1,E2⊂ Rn上可测,又若f分别作为E1与E2上的 函数,在x ∈ E1∩ E2上相同,则f在E1∪ E2, E1\ E2, E1∩ E2上可测. 证. E1∩ E2, E1\ E2为E1的可测子集,根据上题, f在这两个集合上可 测.令E = E1∪ E2,则对任意a ∈ R, E(f a) = (E1\ E2)(f a) ∪ (E2\ E1)(f a) ∪ (E1∩ E2)(f a), 10 故E(f a)可测,从而f在E = E1∪ E2上可测. 28.若每个fk(x)(k = 1,2,···)在可测集E ⊂ Rn上几乎处处连续(间断 点构成零测集),f(x) = lim k→∞ fk(x)在E上几乎处处有意义,证明f在E上可测. 证.只需证明每个fk在E上可测即可.事实上,设fk的连续点集为Ek, 则m(E \ Ek) = 0.对任意a ∈ R,根据定理1.25,存在开集Ga,k,使得Ek(f a) = Ga,k∩ Ek,故Ek(fk a)可测.再由{x ∈ E \ Ek: fk(x) a}为零测集知 E(fk a) = Ek(fk a) ∪ {x ∈ E \ Ek: fk(x) a} 可测,即fk在E上可测. 29.若f为集E上的可测函数,证明对任意实数a, E(f = a)为可测集. 反过来,若对任意实数a, E(f = a)可测,能否断言函数f可测?又若知f只 取可数个不同的值, f可测吗?证明或举出反例. 证.注意对任何实数a a) \ E(f b)可测. 从而对任意实数a, E(f = a) = ∞ \ k=1 E a − 1 k 0) = E0不可测). 如果f只取可数个不同的值,且对任意实数a, E(f = a)可测,则f在E上 必可测.事实上,如果A = f(E)为可数集,则易知 。