《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第八章立体几何8．7空间向量的应用.doc

《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第八章立体几何8．7空间向量的应用1．明白得直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的运算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．　　　1．直线的方向向量及其应用(1)直线的方向向量：直线的方向向量确实是指和这条直线所对应向量____(或共线)的向量，明显一条直线的方向向量有____个．(2)直线方向向量的应用：利用直线的方向向量，能够确定空间中的直线和平面．①关于直线l，点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l上取＝a，则关于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得______________．如此，点A和向量a不仅能够确定直线l的位置，还能够具体表示出l上的任意一点．②空间中平面α的位置能够由α内两条相交直线确定，若设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别是a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量差不多定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得＝________，如此，点O与方向向量a，b不仅能够确定平面α的位置，还能够具体表示出α内的任意一点．2．平面的法向量(1)若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量，明显一个平面的法向量也有____个，它们是____向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是____确定的．3．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)．假如l1∥l2，那么u1∥u2u1＝λu2____________；假如l1⊥l2，那么u1⊥u2u1·u2＝0____________.直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥nu·n＝0____________；若l⊥α，则u∥nu＝kn________________.平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α1∥α2，则u1∥u2u1＝ku2______________；若α1⊥α2，则u1⊥u2u1·u2＝0______________.4．利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角：[来源:1ZXXK]①范畴：两异面直线所成的角θ的取值范畴是______．②向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有______________．(2)直线与平面所成的角：①范畴：直线和平面所成角θ的取值范畴是________．②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝______或cos θ＝sin φ.(3)二面角：①二面角的取值范畴是__________．②二面角的向量求法：若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的平面角的大小确实是向量与的夹角(如图甲)．设n1，n2分别是二面角α­l­β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小确实是二面角的平面角的大小(如图乙、丙)．5．利用空间向量求空间距离(1)利用||2＝·能够求空间中有向线段的长度．(2)点面距离的求法．已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝|||cos〈，n〉|＝______.1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　)．A．l∥α B．l⊥αC．lα D．l与α斜交2．若平面π1，π2垂直，则下面能够是这两个平面的法向量的是(　　)．A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值为(　　)．[来源:1ZXXK]A． B． C． D．4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)．A．30° B．60° C．120° D．150°5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小．一、利用空间向量证明平行和垂直【例1－1】 如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.【例1－2】 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.方法提炼1．利用向量处理平行问题的常用方法：(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)用向量证明线面平行的方法要紧有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示．(3)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．2．利用向量处理垂直问题的常用方法：(1)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥ba·b＝0.(2)用向量证明线面垂直的方法要紧有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(3)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．请做演练巩固提升1二、利用空间向量求角【例2】 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q­BP­C的余弦值．方法提炼如何利用空间向量解决求角的问题：在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的运算，均可归结为两个向量的夹角．关于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝，利用这一结论，我们能够较方便地处理立体几何中的角的问题．(1)线线角：要求两条异面直线所成的角，可先求两条异面直线的方向向量的数量积，要求两向量的数量积，能够求得两向量的坐标，也能够把所求向量用一组已知模和夹角的基向量表示出来进行求解．(2)线面角：直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝－β(或θ＝β－)，故有sin θ＝|cos β|＝.(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α­l­β的面α，β的法向量，则〈n1，n2〉与所求二面角的平面角相等或互补．请做演练巩固提升2三、利用空间向量求距离【例3】 如图，△BCD与△MCD差不多上边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．方法提炼空间中的距离问题一样都能够转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离．其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解．请做演练巩固提升3空间向量在立体几何问题中的合理应用【典例】 (12分)(2021安徽高考)平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．(1)证明：AA1⊥BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值．规范解答：(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.由四边形BB1C1C为矩形知，DD1⊥B1C1.因为平面BB1C1C⊥平面A1B1C1，因此DD1⊥平面A1B1C1.[来源:Zxxk ]又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1.故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1­xyz.(2分)由题设，可得A1D1＝2，AD＝1.由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，因此AD∥A1D1.因此A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)．故＝(0,3，－4)，＝(－2,0,0), ·＝0.因此⊥B，即AA1⊥BC.(5分)(2)因为＝(0,3，－4)，因此||＝5，即AA1＝5.(7分)(3)连接A1D.由BC⊥AD，BC⊥AA1，可知BC⊥平面A1AD，BC⊥A1D，因此∠ADA1为二面角A­BC­A1的平面角．因为＝(0，－1,0)，＝(0,2，－4)，(9分)因此cos〈，〉＝－＝－，即二面角A­BC­A1的余弦值为－.(12分)答题指导：解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整．(2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时烦琐．(3)可不能利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题．(4)运算失误导致结果不正确．另外需要熟练把握直线方向向量及平面法向量的求法，有利于快速正确地解题．1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.(1)若λ＝1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．2．如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角的余弦值．3．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为？参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)平行　许多　(2)①＝t②xa＋yb2．(1)许多　共线　(2)唯独3．(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　a1a2＋b1b2＋c1c2＝0　(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)　(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)　a1a2＋b1b2＋c1c2＝04．(1)①　②|cos φ|＝　(2)①　②|cos φ|　(3)①[0，π]5．(2)基础自测1．B　解析：∵u＝－2。