《勾股定理》集体备课教案.docx

精品学习资源阳逻三中八年级数学下册集体备课教案第十八章 《勾股定理》教材分析及教案建议本章主要内容是勾股定理及其逆定理；第一让同学通过观看得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定懂得决问题；在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念；本章教案时间约需 8 课时，详细支配如下：18． 1 勾股定理 4 课时18. 2 勾股定理的逆定理 3 课时数学活动小 结 1 课时一、教科书内容和课程学习目标本章学问结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有很多重要的性质，如两个锐角互余， 30°的角所对的直角边等于斜边的一半；本章所争论的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条特别重要的性质；勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决很多直角三角形中的运算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大；它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用；目前世界上很多科学家正在试图查找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等；据说我国闻名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人”，那么他们肯定会识别这种“语言”的；这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发觉勾股定理，特殊在 2000 多年前，是特别了不得的成就；欢迎下载精品学习资源在第一节中，教科书让同学通过观看运算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发觉两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发觉勾股定理；勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法；其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积不会转变；在教科书中，图 18.1 － 3（ 1）中的图形经过割补拼接后得到图 18.1 － 3（ 3）中的图形；由此就证明白勾股定理；通过推理证明命题 1 的正确性后，教科书顺势指出什么是定理；由勾股定理可知，已知两条直角边的长 a,b ，就可以求出斜边 c 的长；由勾股定理可得或 ，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长；也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长；教科书相应支配了三个探究栏目，让同学运用勾股定懂得决问题；在其次节中，教科书让同学画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发觉画出的三角形是直角三角形；从而猜想假如三角形的三边满意两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理；勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法；教科书支配了两个例题，让同学学会运用这种方法；这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来；实际上利用运算证明几何问题同学已经见过，运算在几何里也是很重要的；从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习， 对开阔同学眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义；几何中有很多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特点性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念；同学已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相 等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题；勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简洁；因此，教科书在前面已有感性熟识的基础上，在其次节中，结合勾股定理的逆定理的内容的绽开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不肯定成立；为巩固这些内容， 相应配备了一些练习与习题；本章学习目标如下：1. 体验勾股定理的探究过程，会运用勾股定懂得决简洁问题；2. 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3. 通过详细的例子，明白定理的含义，明白逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不肯定成立；二、本章编写特点（一）让同学体验勾股定理的探究和运用过程勾股定理的发觉从传奇故事讲起，从故事中可以发觉等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积；再看一些其他直角三角 形，发觉也有上述性质；因而猜想全部直角三角形都有这个性质，即假如直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为 ，那么 （教科书把这个猜想记作命题 1，把下节“假如三角形的三边长满意 ，那么这个三角形是直角三角形”记作命题 2，便于引出互逆命题）；教科书让同学用勾股定理探究三个问题；探究 1 是木板进门问题；依据已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试；由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定懂得决；探究欢迎下载精品学习资源2 是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离；这个问题可以转化为已知斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定懂得决；探究 3 是在数轴上画出表示 的点；分以下四步引导同学：（ 1）将在数轴上画出表示 的点的问题转化为画出长为 的线段的问题；（ 2）由长为 的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边，联想到长为 的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边；（ 3）通过尝试发觉，长为 的线段是直角边为 2,3 的直角三角形的斜边；（ 4）画出长为 的线段，从而在数轴上画出表示 的点；（二）结合详细例子介绍抽象概念在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容；在勾股定理一节中，先让同学通过观看得出命题 1，然后通过面积变形证明命题 1；由此说明，经过证明被确认正确的命题叫做定理；在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让同学画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发觉画出的三角形是直角三角形；因而猜想假如三角形的三边长 满意 ，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题 2；把命题 2 的条件、结论与上节命题 1 的条件、结论作比较，引出逆命题的概念；接着探究证明命题 2 的思路；用三角形全等证明命题 2 后，顺势引出逆定理的概念；命题 1，命题 2 属于原命题成立，逆命题也成立的情形；为了防止同学由此误以为原命题成立，逆命题肯定成立，教科书特殊举例说明有的原命题成立，逆命题不成立；（三）留意介绍数学文化我国古代的学者们对勾股定理的争论有很多重要成就，不仅在很久以前独立地发觉了勾股定理，而且使用了很多奇妙的方法证明白它，特殊在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要奉献；本章介绍了我国古代的有关争论成果；在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“假如勾是三、股是四、那么弦是五”；有很多方法可以证明勾股定理；教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国古人赵爽的证法；第一介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题 1 的基本思路；“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪慧才智，它是我国古代数学的骄傲；正由于此，这个图案被选为 2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽；仍在习题中支配我国古代数学著作《九章算术》中的问题，呈现我国古人在勾股定理应用争论方面的成果；本章也介绍了国外的有关争论成果；如勾股定理的发觉是从与毕达哥拉斯有关传奇故事引入的；又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入；再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论；三、几个值得关注的问题（一）让同学获得更多与勾股定理有关的背景学问与勾股定理有关的背景学问丰富，除正文介绍的有关内容外，教科书在“阅读与摸索勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，仍支配了一个数学活动，让同学收集一些证明勾股定理的方法，并与同学沟通；欢迎下载精品学习资源在教案中，应留意呈现与勾股定理有关的背景学问，使同学对勾股定理的进展过程有所明白，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发同学的学习爱好；特殊应通过向同学介绍我国古代在勾股定理争论方面的成就，激发同学喜爱祖国，喜爱祖国悠久文化的思想感情，培育他们的民族骄傲感，同时训练同学发奋图 强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础；（二）适当总结与定理、逆定理有关的内容本章中给出了定理、逆定理的概念，可以在小结中回忆已学的一些结论；例如，在第七章“三角形” 中，“三角形的内角和等于 180°”是由平行线的性质与平角的定义推出的，这个结论也称为三角形内角和定理；又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等证明的，前一个结论也称为角的平分 线的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理；这样就可以从定理、逆定理的角度熟识 已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系；互逆命题、互逆定理的概念，同学接受它们困难不大，对于那些不是以“假如⋯⋯那么⋯⋯”形式给出的命题，表达它们的逆命题困难较大，是教案中的一个难点；解决这个难点的方法是，适当复习命题的有关内容，学会把一个命题变为“假如⋯⋯那么⋯⋯”的形式；留意这些概念是第一次学习，不要要求过高；四、教案建议本章内容的重点与难点是勾股定理及其应用，勾股定理的逆定理及其应用；勾股定理是解几何题中有关线段运算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一；本章的难点是把握勾股定理并能娴熟的运用勾股定理；要留意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三边关系；直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边的平方和；在其它三角形中不存在这样的关系；这是一个特别重要的定理；它是把形转化为数 ，它的应用特别广泛；勾股定理的逆定理就是 把数转化为形 ，通过运算判定一个三角形是否为直角三角形；相关学问点回忆 ：（ 1）直角三角形的两个锐角互余（ 2）直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半；（ 3）斜边大于任一条直角边（ 4）全等三角形判定方法；（ 5）面积公式同学在本章学习中存在认知误区和思维障碍；(1) 忽视题目中的隐含条件；如在 Rt △ABC 中，∠ B ＝90， a， b，c 分别为三条边， a＝3， b＝ 4，求边c 的长；不少同学会认为 c＝ 5，忽视了 b 是斜边这一隐含条件；(2) 忽视定理成立的条件是在直角三角形中，有的同学看到三角形的两边是 3 和 4，就会认为第三边是5，(3) 考虑问题不全面造成漏解．如已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边；(4) 通过添加帮助线将非直角三角形转化为直角三角形．如 〔a〕连结两点构造直角三角形（ b）作高构造欢迎下载精品学习资源直角三角形（ c）构造几何图形解决代数问题；教案建议本章教案老师可采纳主体性学习的教案模式， 提出问题让同学摸索，设计问题让同学做，错误缘由让同学找，方法与规律让同学归纳．老师的作用在于组织、点拨、引导，促进同学主动探究、积极摸索、大胆想象、总结规律，充分发挥同学的主体作用，让同学真正成为教案活动的主人；本章的教案步骤可分五步：探究结论——验证结论——初步应用结论——证明结论——应用结论解决实际问题；1 、在探究结论阶段，应调动同学的积极性，让同学充分参加例如，教材设计了在方格纸上通过运算面积的方法探究勾股定理的活动，老师勉励同学尝试求出方格中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系，由此。