函数的间断点.doc

函函数数间间断断点点求求法法两两个个基基本本步步骤骤1、间断点（不连续点）的判断、间断点（不连续点）的判断在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心下面我们一起看一下教材上间断点的定义：2 2、间断点类型的判断、间断点类型的判断找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：①①可去间断点：左右极限存在且相等；可去间断点：左右极限存在且相等；②②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．跳跃间断点：左右极限存在但不相等．（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：①①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．②②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．▪间断点间断点：是 f(x)的间断点，f(x)在点处的左右极限都存在为第一类间断点.𝑥0𝑥0f(x)至少有一个不存在，则是 f(x)的第二类间断点.在𝑥0点处左右极限𝑥0第一类间断点中{可去间断点 ： 左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等 ?第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：函数的间断点一、函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数有下列三种 xf0x xf情形之一：1．在没有定义；0xx 2．虽在有定义，但不存在；0xx  xf xx0lim y在 间断x1⑤11 xy。

， 11lim1 1xx x3．虽在有定义，且存在，但；0xx  xf xx0lim   0 0limxfxf xx 则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点． xf0x0x xf下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类：1x在连续． 在间断，极限为 2．1x1x1x在间断，极限为 2． 在间断，1x1x1x 左极限为 2，右极限为 1．1x在间断，极限不存在．0x0x像②③④这样在点左右极限都存在0x的间断，称为第一类间断，其中极限存在 的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令，则在函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间21 y1x断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点，但左极限0x xfyx1121①1 xyyx1121②112xxy③ 1111 xxxy，，yx1121④ 111 xxxxy，，yx1121⑥xy1sin及右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点．不是第一00xf00xf0x xf类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为 可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．例例 1 确定 a、b 使0,1sin0,0,sin)(xbxxxaxxxxf在0x处连续．解解：)(xf在0x处连续)(lim 0xf x)(lim 0xf x)0(f因为bbxxxf xx  1sinlim)(lim 00；1sinlim)(lim 00 xxxf xx；af)0(所以1 ba时，)(xf在0x处连续．例例 2 求下列函数的间断点并进行分类1、、11)(2xxxf分析分析：函数在1x处没有定义，所以考察该点的极限．解解：因为 2) 1(lim11lim 121xxxxx，但)(xf在1x处没有定义所以 1x是第一类可去间断点．2、. 0,1, 0,1sin)( xxxxxf分析分析：0x是分段函数的分段点，考察该点的极限．解解：因为 01sinlim 0 xx x，而1)0(f所以 0x是第一类可去间断点．总结总结：只要改变或重新定义)(xf在0x处的值，使它等于)(lim0xf xx，就可使函数在可去间断点0x处连续．3、 . 0,1, 0,1)(xxxxxf分析分析：0x是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．解解：因为 1) 1(lim)(lim 00 xxf xx；1) 1(lim)(lim 00 xxf xx所以 0x是第一类跳跃间断点．4、xxf1arctan)(分析分析：函数在0x处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．解解：因为 21arctanlim)(lim 00 xxf xx；21arctanlim)(lim 00 xxf xx所以 0x是第一类跳跃间断点．5、xexf1 )(解解：因为  xxxexf100lim)(lim所以 0x是第二类无穷间断点6、xxf1sin)(解解：xxf xx1sinlim)(lim 00极限不存在所以 0x是第二类振荡间断点7、求xxxfsin)( 的间断点，并将其分类．解解：间断点：), 2, 1, 0(kkx当0x时，因1sinlim 0 xxx，故0x是可去间断点．当), 2, 1(kkx时，因 xxkxsinlim ，故), 2, 1(kkx是无 穷间断点． 小结与思考与思考： 本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．1、求nnxxxf211lim)( 分析：分析：通过极限运算，得到一个关于 x 的函数，找出分段点，判断．  . 1,01,11,011,1)(xxxxxxf解解：因为00lim)(lim 11 xxxf；2) 1(lim)(lim 11 xxf xx所以1x是第一类跳跃间断点因为0) 1(lim)(lim 11 xxf xx；00lim)(lim 11 xxxf；0) 1(f所以1x是连续点．。