离散系统的时域分析.ppt

信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-1页■电子教案第三章 离散系统的时域分析3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应四、零状态响应 3.2 单位序列和单位序列响应一、单位序列和单位阶跃序列二、单位序列响应和阶跃响应 点击目录 ，进入相关章节3.3 卷积和一、卷积和二、卷积的图解三、卷积和的性质 *3.4 离散系统的算子分析一、E算子及方程二、离散系统的零输入响应三、由H(E)求h(k)四、求解零状态响应第三章 离散系统的时域分析信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-2页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)， f(k-2),…等称为f(k)的移位序列仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算 1. 差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：3.1 LTI离散系统的响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-3页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。

本书主要用 后向差分，简称为差分 （3）差分的线性性质： [af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义：2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1)= f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分:mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m)因此，可定义：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-4页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应2. 差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程将差分展开为移位序列，得一般形式y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条 件和激励，利用迭代法可求得其数值解 例1：若描述某系统的差分方程为y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。

解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k)y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 注：一般不易得到解析形式的(闭合)解 信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-5页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次 解和特解两部分组成齐次解用yh(k)表示，特解用yp(k) 表示，即y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) 齐次解 是齐次差分方程y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 的解yh(k)的函数形式由上述差分方程的特征根确定 （齐次解的函数形式见P87表3-1）信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-6页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ，即λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。

信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-7页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应2. 特解 yp(k)特解的函数形式与激励函数的形式有关P87表3-2列 出了几种典型得f(k)所对应的特解yp(k)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-8页■电子教案例2：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0 求方程的全解 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2, k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4 3.1 LTI离散系统的响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-9页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应系统的全响应y(k)可以分解为零输入响应yx(k)和零状 态响应yf(k) 。

y(k) = yx(k) + yf(k) 零输入响应和零状态响应可以分别用经典法求解 已知单输入-单输出LTI离散系统的激励为f(k)，其 全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k) 之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程， 表示如下：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-10页■电子教案3.1 LTI离散系统的响应1. 零输入响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应， 称为零输入响应，用yx(k)表示 在零输入条件下，(1)式可化为齐次方程：通常，用y(-1)，y(-2)，…，y(-n)描述系统的初始状态一般设定激励是在k=0时刻接入系统的，在k1时，f (k)的实虚部均为指数增 长的正弦序列r 0时 为零，因而在k>0时，系统的单位序列响应与系统的 零输入响应的函数形式相同这样就把求解单位序列 响应的问题转换为求解齐次方程的问题而k=0处的 值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定3.2 单位序列和单位序列响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-27页■电子教案2.阶跃响应当LTI系统的激励为单位序列ε(k)时，系统的 零状态响应称为阶跃响应，用g(k)表示。

若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求 得系统的单位阶跃响应g(k)此外由于由线性和移位不变性由于那么3.2 单位序列和单位序列响应信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-28页■电子教案例1.求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响 应g(k)3.2 单位序列和单位序列响应解： （1）列写差分方程，求初始值 由加法器的输出可列出系统的方程为整理得：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-29页■电子教案3.2 单位序列和单位序列响应根据单位序列响应的定义，它应满足方程由迭代得：（2）求h(k)当k>0时，h(k)满足齐次方程其特征方程为：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-30页■电子教案3.2 单位序列和单位序列响应代入初始值得：于是，系统的单位序列响应注意：这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足k=0 由上式可解得：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-31页■电子教案3.2 单位序列和单位序列响应（3）求 g(k)根据阶跃响应的定义，它应满足方程由迭代得：容易求得其特解为：于是，得：解法I信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-32页■电子教案3.2 单位序列和单位序列响应代入初始值得：于是，系统的阶跃响应由上式可解得：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-33页■电子教案3.2 单位序列和单位序列响应考虑到k≥0，得：解法II由级数求和公式得：信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-34页■电子教案3.3 卷积和 3.3 卷积和一、卷积和1 .序列的时域分解任意离散序列f(k) 可表示为信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-35页■电子教案3.3 卷积和2 .任意序列作用下的零状态响应 yf (k)f (k)根据h(k)的定义：δ(k) h(k) 由时不变性：δ(k -i)h(k -i)f (i)δ(k -i)由齐次性：f (i) h(k-i)由叠加性： ‖ f (k)‖ yf (k) 卷积和信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-36页■电子教案3.3 卷积和3 .卷积和的定义已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和 f2(k)，则定义和 为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变 量，k 为参变量。

结果仍为k 的函数 信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-37页■电子教案3.3 卷积和若有两个序列f1(k)与f2(k)，如果序列f1(k)是因果序列 ，即有f1(k)=0,k k时，ε(k - i) = 0这种卷积和的计算方法称为解析法信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-39页■电子教案例2：求例3：求3.3 卷积和信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-40页■电子教案例4：求3.3 卷积和例5：求信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-41页■电子教案3.3 卷积和二、卷积的图解法卷积过程可分解为五步： （1）换元： k换为 i→得 f1(i)， f2(i)； （2）反转： 将 f2(i)以纵坐标为轴线反转，成为f2(–i)； （3）平移：将f2(–i)沿i轴正方向平移k 个单位→ f2(k – i); （4）乘积： f1(i) f2(k – i) ; （5）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和 注意：k 为参变量 下面举例说明信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-42页■电子教案3.3 卷积和例1：f1(k)、 f2(k)如图所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？解：（1）换元 （2） f2(i)反转得f2(– i) （3） f2(–i)右移2得f2(2–i) （4） f1(i)乘f2(2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5f2(–i )f2(2–i)信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-43页■电子教案3.3 卷积和解：（1）换元，反转，得例2 求信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-44页■电子教案（2） 平移，求3.3 卷积和信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-45页■电子教案（3）求3.3 卷积和信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-46页■电子教案3.3 卷积和三、不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。

如k=2时 f(2)= …+f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + … 例1 f1(k) ={0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0}f2(k) ={0， f2(0) ， f2(1)，0}信号与系统©西安电子科技大学电路与系统教研中心第3-47页■电子教案3.3 卷积和f1(1) ， f1(2。