广义积分习题课.docx

第十一次习题课讨论题解答 本次习题课主要讨论广义积分的计算及其收敛性判定具体有三方面的内容：一. 广义积分计算二. 广义积分的收敛性判定三. 三个重要的广义积分两点说明：（1）为了判断广义积分的收敛性，我们常常将被积函数作分解，使得广义积分和的收敛性比较容易判断根据积分和的收敛性，我们可以确定积分的收敛性具体有如下结论：（i） 如果积分和都收敛，则积分也收敛ii） 如果积分和一个收敛，一个发散，则积分发散 （iii） 如果两个积分都发散，则积分收敛性尚不能确定此时只能说分解式不管用例：广义积分2）对于正常积分，积分存在意味着存在；反之不然而对于广义积分情形则刚好相反：广义积分存在（收敛）意味着存在（收敛），反之不然一． 计算下列广义积分说明：以下广义积分的收敛性不难证明，故略去但同学们自己作为练习应该考虑题1. ，其中解：对于，我们又等式，且，受此启发，我们作变换，于是，且解答完毕注：值得注意的是，这个积分的值与上下限和无关题2． 解：注意时，由此可以判断所求无穷积分收敛为计算积分，可以利用有理函数积分法：，……（较繁琐）另解：原式 = ，在其中无穷积分中引入积分变量代换： ，原式化为两个普通积分的和，且都在区间上： 原式 = 。

解答完毕题3． ， 其中 解：将积分分成两个部分 和对积分作变换得 解答完毕注：积分值与参数值无关）题4． （有理函数积分或者变量代换）解法一： 解法二：令（评：这变换有点怪异，很难想到这样的特别技巧并不是很多，我们最好都能记住），则，且 时，时，此外 ， 解答完毕二、判断广义积分的收敛性题1． 解：该积分既有奇点，又是无穷区间上积分，是混合型的广义积分需要分别处理在奇点附近 ，所以仅当时收敛以下考察无穷积分的收敛性当时，取充分小，使得，从而 收敛，而且，这说明收敛；当时，，由于 发散，所以发散综上，当且仅当时， 积分收敛解答完毕题2．，其中解：当被积函数没有奇点，当时，为奇点，这时（），可见当且仅当时，积分收敛；为考察无穷积分 ，注意无论的符号如何，都有 （）由此可见仅当时积分收敛 综上，当且仅当，且时， 积分收敛解答完毕题3. （第六章复习题题2（1），p.206）解：先考积分在奇点处的收敛性我们将被积函数写作由此可见，积分在点处的收敛，当且仅当，即我们再来考虑积分在无穷远处的收敛性我们将被积函数写作。

显然积分收敛，当且仅当而积分收敛，当且仅当由此可知积分收敛，当且仅当综上所述，积分收敛，当且仅当解答完毕题4. 习题6.2题9（2），p.206）解：对积分作变量替换，我们得到 由此可见，积分为条件收敛解答完毕注：对于无穷区间型的广义积分而言，积分收敛，并不意味着被积函数有界，当然更遑论被积函数有趋向于零的极限题5. （第六章复习题题3，p.206）解：注意被积函数没有有限奇点，而在时 单调减趋于0根据Dirichlet判别法可知积分收敛我们进一步积分的绝对收敛性注意当时，从而存在，使得时由此可知积分发散综上可知原广义积分条件收敛解答完毕题6. 讨论如下广义积分的绝对收敛性和条件收敛性, 其中i)(ii) (iii) 解：（i）由于被积函数为非负的，因此它收敛即为绝对收敛当 时， 根据不等式 ，可知积分收敛当 时，根据不等式可知积分发散ii）我们将积分的被积函数作如下表示，因为右边的两个函数的收敛性比较容易判断不难看出广义积分对任意均收敛 再根据结论（i），我们可以断言，积分收敛，当且仅当时再来考虑绝对收敛性当时，根据不等式，我们可以断言发散当时，根据不等式 ， 我们可以断言收敛。

于是积分条件收敛，当且仅当；积分绝对收敛，当且仅当iii）注意对于任意，这表明点并不是被积函数的奇点 因此积分与积分的收敛性相同，即积分条件收敛，当且仅当；积分绝对收敛，当且仅当解答完毕三．三个重要的广义积分（1）计算Euler积分2）计算Froullani广义积分（3）证明概率积分（也称Euler-Poisson积分）证明有点长，已超出要求，可略去但证明不超出我们所学，也不难懂1）. (课本第六章总复习题9，p.207 ) 计算Euler积分 提示：用配对法求积分值考虑另一个积分解：易见是Euler积分的瑕点这里我们略去证明收敛性的证明（不难），只专注如何求出积分的值我们尝试用配对法来求积分值考虑相关积分不难证明这两个积分相等，即于是我们有对于积分，作变量替换得 由此得 解答完毕注：可利用上述Euler积分计算以下积分的值i) ii) iii) iv) （2） 设函数在上连续且极限存在，记作证明Froullani广义积分，其中，为两个正数提示：将积分分成两部分之和，这两个部分分别为从到和到的积分对于积分，考虑从到的积分，将被积函数拆开，并作适当的变量替换对于积分可作类似处理 证明：我们将积分分为两个部分，，。

考虑对于任意，我们有 对于任意，我们类似有因此原积分为注1：我们可以直接对积分作分拆，然后分别做变量替换然后令和，得到相同的结论这样处理更简洁注2：利用上述Froullani积分，同学们可以计算如下积分，其中，为两个正数i）ii）（3） 证明概率积分（也称Euler-Poisson积分）注1：根据概率积分公式，我们立刻得到注2：下个学期我们将学习多重积分届时我们将用更简单的方法证明概率积分公式提示： 回忆函数的定义： 令，则 因此我们有理由期待 （注：第二个等式的成立是需要证明的）由于积分不方便处理，所以我们考虑它的截断积分， 这里积分上限取为， 理由是这样的截断积分有一个较整齐的计算结果于是我们有理由期待这不是证明，而是希望）按以下步骤完成计算Step1. 记证明Step2. 记，并回忆公式，，证明 (i) ; (ii) ; (iii) (注：公式(iii)称作华莱士公式即Wallis公式) Step3. 证明Step4. 证明，，Step5. 证明 ，，Step6. 由Step4,5可知 ，，由此证明 .Step7. 证明 解： 定义Step 1. 作变量代换得 （1）Step2. 记. 注意还可以写作。

回忆关于积分公式， （2）由此得，即式(i)成立另一方面容易看出 ，即式(ii)成立将公式（2）代入式(ii)，我们就得到, 即式(iii)成立Step3. 根据Wallis公式，我们立刻得到Step4. 证明 ，，证：当时，不等式显然成立考虑情形易见所要证的不等式成立当且仅当 ，，根据熟知的不等式 ，，可知上述不等式成立Step5. 证明 ，，证明: 显然要证的不等式成立，当且仅当，，考虑函数我们来考虑在上的最小值设在点处取得最小值若或，则，结论得证对求导得由此可知结论得证Step6. 在Step4和5的结论中，取，，我们就得到，，容易证明广义积分收敛 由此证明 .Step7. 根据Step6中的不等式，我们有概率积分公式得证。