第九章拉普拉斯变换教案.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载课题（项目）Laplace 变换的概念 课时 2课地阶东 1-2点授课时间 20XX年 4 月 9 日，第 9 周，周一 第 1-2 节教学目标： 1、懂得 Laplace 变换的定义，把握常用函数的拉氏变换表，会教学 利用拉氏变换定义求解简洁函数的拉氏变换，能较为娴熟地运用常用函数的目标 拉氏变换表求解函数的拉氏变换； 2、懂得并把握单位阶梯函数及其性质，方法 把握自动掌握系统中常用的两个函数的拉氏变换手段 教学方法： 课堂讲授，争论与练习相结合教学手段： 讲授 板书，多媒体教学重点：把握部分分式法求 Laplace 逆变换；重点 教学难点： F 〔s〕 分解成分式之和， 用位移性质求 Laplace 逆变换，求 Laplace难点逆变换；拉普拉斯 〔Laplace〕 变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而 且在自动掌握系统的分析和综合中也起着重要的作用． 本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．一、引入在代数中，直接运算N6.283 5781 2209. 83〔1.164〕 5是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为1 3lg N教学lg 6.28〔lg35781lg 9.82 lg 20〕lg 1.1645 ，过程 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原先要求的数 N ．与内容 这是一种把复杂运算转化为简洁运算的做法， 而拉氏变换就是另一种化繁为简的做法；二、新课讲授9.1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数f 〔t 〕 当 t0 时有定义，如广义积分f 〔t〕 e0pt dt在 P 的某一区域 内 收 敛 ， 就 此 积 分 就 确 定 了 一 个 参 量 为 P 的 函 数 ， 记 作F 〔P 〕 ， 即F 〔 P〕f 〔t〕 e0pt dt（ 9-1 ）称（ 7-1 ）式为函数f 〔t 〕 的拉氏变换式，用记号L[ f〔t 〕]F 〔 P〕 表示．函数F 〔 P 〕 称为f 〔t 〕 的拉氏变换 〔Laplace〕 〔 或称为f 〔t 〕 的象函数 〕 ．函数f 〔t 〕 称为F 〔 P〕 的拉氏逆变 第 1 页，共 36 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载换（或称为F 〔 P〕 象原函数），记作L 1[ F 〔 P 〕]f 〔t 〕 ，即f 〔t〕L 1 [ F 〔 P〕] ；关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求f 〔t〕 在 t0 时有定义．为了争论拉氏变换性质的便利，以后总假定在 t0 时，f 〔t〕 0 ；（ 2）在较为深化的争论中， 拉氏变换式中的参数 P 是在复数范畴内取值． 为了便利起见，本章我们把 P 作为实数来争论，这并不影响对拉氏变换性质的争论和应用；（ 3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数， 它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的；例 9-1 求一次函数f 〔t 〕at （ t0， a 为常数）的拉氏变换；L[ at ]解0 ap 0ate0e pt dtpt dta[ p 2 eap 0]pt0td 〔ea p 2pt 〕〔 p[ at e p0 〕pt]0a e pt dt p 0例 9-2 求指数函数f 〔t〕；eat（ a 为常数）的拉氏变换．L[ eat ]解eat0e pt dte 〔 p0a〕 t dt1 〔 p a〕p a ，即L[sin t] 2p2 〔 pL [ eat ]0〕；1 〔 p p aL[cos t]a 〕．pp2 2 〔 p 0〕；类似可得：L cos tp 〔 p 0〕 p 2 29.1.2 常用函数的拉氏变换表问题：运算函数f 〔t〕L e 2tsin 4t的拉氏变换；知道，假如仍是用拉氏的定义来运算，整个运算会比较复杂，而且有些仍比较困难；为了运算的便利，我们给出常用函数的拉氏变换表；通过 PPT展现常用函数的拉氏变换表；三、应用举例例 9.4 求（ 1）f 〔t 〕3e 4t， （ 2）f 〔t〕t 4 的拉氏变换；例 9.5 求 Le 2t e3t ；例 9.6 求f 〔t 〕L e2 tsin 4t的拉氏变换；9.1.3 自动掌握系统中常用的两个函数1、单位阶梯函数（单位阶跃函数）1) 单位阶梯函数的定义 第 2 页，共 36 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载函数 u〔t〕0, t1, t0, 称为单位阶梯函数 （单位阶跃函数） ；把 u 〔t 〕 分别平移0a 和b个单位，就有u〔t a〕0, t1, ta，a1, au〔t b〕 t b0, t1, tb ，当 a bb 时，将这两式相减得u〔ta〕 u〔t b〕0, ta或t b.2）单位阶梯函数的性质单位阶梯函数具有：u〔at b〕u〔tb 〕〔 a a0, b 0〕3）单位阶梯函数的拉氏变换：0, t 0例 9.7 单位阶梯函数u〔t〕1, t0 的拉氏变换；L[u 〔t 〕]解u〔t〕e0pt dt1 e pt dt0[ 1 e p]pt01p ， 〔 p0〕 ．2、单位脉冲函数及其拉氏变换在争论线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时， 要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原先电流为零的电路中，某一瞬时 〔 设为 t 0 〕 进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i 〔t 〕 ，以Q〔t 〕表示上述电路中的电量，就Q〔t〕由于电流强度是电量对时间的变化率，即0, t 0,1, t 0.i 〔t 〕dQ 〔t 〕limQ〔tt〕 Q〔t 〕dt t 0 t ，所以，当 t0 时， i 〔t 〕0 ；当 t0 时，i〔0〕limQ 〔0t 〕 Q〔0〕1lim 〔 〕t 0 t t 0 t ；上式说明， 在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为 狄拉克函数 ；1）定义〔t〕设0， t 01， 0 t 0， t，当 0 时，〔t 〕 的极限〔t 〕lim0〔t 〕称为 狄拉克（ Dirac ）函数，简称为 函数．当 t 0 时 ，〔t〕的 值 为 0 ； 当 t0 时 ，〔t 〕的 值 为 无 穷 大 ， 即 第 3 页，共 36 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载0, t 0〔t〕, t 0．〔t〕 和〔t〕 的图形如图 9-1 和图 9-2 所示（图略） ；明显，对任何 0 ，有〔t 〕dt1 dt01，所以〔t〕 dt 1．工程技术中，常将 函数称为 单位脉冲函数 ，有些工程书上，将 函数用一个长度等于 1 的有向线段来表示 （如图 7-2 所示），这个线段的长度表示 函数的积分， 叫做 函数的强度 ．2）狄拉克函数拉氏变换．例 9-2 求〔t 〕 的拉氏变换．解 依据拉氏变换的定义，有L[ 〔t 〕]〔t〕e0pt dt〔 lim0 01 〕 ept dtlim00 e pt dtlim01 e pt dt01lim [0，e pt] 0p1 1 e plimp 01 〔1limp 0e p 〕〔 〕1limp 0pe p11即 L[ 〔t 〕] 1；三、课堂小结并布置作业作业 P.134 3 、（ 1）（2）（ 5）教学懂得拉氏变换的概念，熟记常用函数的拉氏变换表小结 第 4 页，共 36 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载课题（项目）Laplace 变换的性质 课时 2课地阶东 1-2点授课时间 20XX年 4 月 11 日，第 9 周，周三，第 5-6 节教学 教学目标：把握 Laplace 变换的性质，重点把握 Laplace 变换的线性性质，目标 微分性质，位移性质；利用 Laplace 变换的性质求逆变换；方法 教学方法：课堂讲授手段 教学手段：板书，多媒体重点 教学重点：重点把握 Lapl。