哈尔滨工业大学 航天器轨道动力学作业参考.pdf

1、航天器轨道动力学作业 - 1 - 航天器轨道动力学作业 1151820220 刘一石 1. 试计算地-月二体系统的质心位置和旋转周期，地心处对公共质心的向心加速度是多少？ 解：经过查书可得到，地球质量为： 24 5.976 10 E Mkg 月球的质量为： 22 7.348 10 M Mkg 地月平均距离为： 384000Rkm 二体问题其质心在两个物体连起来线段的中间。设其质心位置距离地球xkm，则距离月球 为Rx km。根据二体质心的定义可以有如下关系： EM M xMRx 带入已有条件 2422 5.976 107.348 10384000xx 可以解得 4464.26xkm 379335.75Rxkm 带入万有引力定律公式 2 EM EE GM M M a R 有： 1122 52 22 8 6.67384 107.348 10 3.322 10/ 3.84 10 M E GMkg am s R m 2. 如果地球自转 17 周/天，赤道上会发生什么现象？以1000/m s垂直向上抛出一物体会 怎样？ 解：若地球自转 17 周每天，赤道上物体的速度为 17 2 17 2 3.1

2、4 6378140 =7881m/ 24 360024 3600 R vs 赤道 由于第一宇宙速度 7.9/Vkm s 万有引力提供向心力和重力 航天器轨道动力学作业 - 2 - 2 2 GMmv mmg RR 赤道赤道 因此赤道上的重力加速度为 211242 2 22 6.67384 105.976 107881 0.0659/ 63781406378140 GMv gkg s RR 赤道赤道 如果以1000/m s抛出物体，则该物体的速度为 22 788110007944.19/ object vm s 大于第一宇宙速度，因此将摆脱地球引力。 3. 绘出参数为70000akm，0.9e 的绕地球椭圆轨道的真近角与速度v、 真近角 与径向速度 V v和真近角与水平速度 H v的关系曲线(1 周的) 解：由于真近角与位置矢量的关系为： 2 1 1cos ae r e 因此要求出真近角与速度的关系，相当于求位置矢径大小与速度的关系。 已知轨道半径70000akm， 轨道离心率0.9e 。因此轨道的能量方程： 2 22 v ra 因此，速度与矢量大小关系为： 2 v ra 轨道角动量为 2

3、 1hpae 水平速度为 h h v r 径向速度为 22 vh vvv 经过以上分析，利用 MATLAB 作图可以得到图 1 航天器轨道动力学作业 - 3 - 图 1 本题用到的 MATLAB 程序： close all; a=70000; e=0.9; miu=3.986e5; r=(phy)a*(1-e2)/(1+e*cos(phy); v=(phy)sqrt(2*miu/r(phy)-miu/a); h=sqrt(miu*a*(1-e2); vh=(phy)h/r(phy); vv=(phy)sqrt(v(phy)2-vh(phy)2); fplot(phy)v(phy),0,2*pi,-) hold on fplot(phy)vv(phy),0,2*pi,-.) hold on fplot(phy)vh(phy),0,2*pi,-) legend 速度 径向速度 水平速度 xlabel(真近角theta) ylabel(速度 km/s2) set(gca,XTick,0:pi/2:2*pi); set(gca,xtickLabel,0,0.5pi,pi,1.5pi,2pi)

4、4. 试求在轨道参数为a，e的椭圆轨道上，从短轴同一端出发的两个反方向运行的飞行器 分别到达短轴另一端的时间。 航天器轨道动力学作业 - 4 - 解，根据定义（如图 2） ，短轴所对应的偏近点角为 1 2 E 和 2 3 2 E， 图 2 根据平近点角的定义： sinMEeE 所对应的平近点角分别为： 1 2 Me 和 2 3 2 Me 由 12 21 2MMe 由 21 21 22MMe 因此： 3 12 3 2 2 ea te a 3 21 3 2 2 ea te a 另解：由于开普勒第二定律可知，面积比等于时间比，因此他们的面积，因此有如下等式成 立： 1221 1212 2121 ttT tS tS 其中 航天器轨道动力学作业 - 5 - 3 2 a T 12 2 ab Sbc 21 2 ab Sbc 因此，解上述方程可以得到 3 12 3 2 2 ea te a 3 21 3 2 2 ea te a 5. 试证明参数为a，e的椭圆轨道半径r对真近角， 偏近角， 时间t的平均值r、 r、rt分别为 2 1aeb，a， 2 1 2 2 ae 解： （1） 轨道半径r对真近角的关系

5、如下 2 1 1cos ae r e 因此轨道半径r对真近角的平均值如下 2 2 2 0 0 1 1cos r = 22 ae d r d e 利用 Mathematica 积分（程序如下） ： Integrate(1 2) (1+ Cos),0,2 Pi (2 Pi) 得到的结果为： 2 1 r =(1)1 1 e aeaeb e （2） 轨道半径r对偏近角的关系如下 1cosrae 航天器轨道动力学作业 - 6 - 因此轨道半径r对偏近角的平均值如下 22 00 1cos r = 22 r daed 利用 Mathematica 积分（程序如下） ： Integrate(1 Cos),0,2 Pi (2 Pi) 得到的结果为： r =a （3） 轨道半径r对偏近角t的可以间接用偏近点角表示 1cosrae 由于 0 3 n a 0 sinn te 两端同时求导 0d 1cosdnte 轨道半径r对偏近角t的平均值如下 2 00 d(1cos)(1cos)d r = 2 T rtaee T 利用 Mathematica 积分（程序如下） ： Integrate (1 Cos) (1

6、Cos),0,2 Pi (2 Pi) 得到的结果为： 2 1 r =2 2 ae 因此问题得证。 6. 从赤道上空向正北发射半径为 N r的圆轨道极轨卫星，考虑到地球自转(角速度e)的影 响时，轨道倾角和偏心率有多大的偏差？ 解：半径为 N r的圆轨道，轨道的速度为 verN N vv r 由于地球自转角速度的影响，产生水平分量的大小为 paraEN vr 航天器轨道动力学作业 - 7 - 利用伽利略速度合成法则可知，轨道倾角因此减少 3 1 90arctanarctanarctanarctan paraN ver verparaENEN vr v i vvrr 由于入轨时矢径与速度方向垂直， 因此入轨点为轨道的近心点或远心点。 又由于此处相对于 圆轨道速度增加，因此为轨道的近心点。由于近心点速度变为 2 22 pverparaEN N vvvr r 利用近心点速度公式 1 p p ve r 反推出离心率表达式 2 2323 11 Np ENEN rv rr e 另解：离心率矢量公式为 2 1 ()ev r rr v v 由于入轨时矢径与速度方向垂直，因此 0r v 带入速度与位置矢径

7、可得到 2 232 111 EN EN N NN rrv err rrr 7. 某卫星在酒泉发射场(东经100，北纬41)上空400km处以8.5/km s的速度入轨(设入 轨时刻：赤经=经度)，速度与当地水平面的夹角为5，方向为东偏北120。试求卫星的 轨道根数并画出该卫星前三周的星下点轨迹。 解： 建立发射场坐标系Oxyz， 地心固连坐标系 eeee O x y z， 这两个坐标系的转换关系为： zy CC eeee O x y zOxyz 其中代表经度（东经0, 西经0） 。在Oxyz中，有 6771,0,0rkm 0.7408, 4.2338,7.3332/vkm s 航天器轨道动力学作业 - 8 - 通过坐标变换，换算到 eeee O x y z中的位置速度向量。利用 MATLAB 计算（本题附） ，可以得 到： 887.37,5032.5,4442.2rkm 4.9078, 3.4521,6.0205/vkm s 再利用第九题程序，可以利用位置速度向量算出轨道六根数如下，半长轴长： 8763akm 离心率： 0.2426e 轨道倾角： 112.17i 近地点角距： 19.0

8、6 升交点赤经： 120.75 真近点角： 26.05 因此可以求出轨道的周期为： 33 5 8763 228163.76 3.986 10 a Ts 利用开普勒方程， 求三个周期内的的轨道六根数， 再利用轨道六根数与星下点轨迹的坐标转 换公式（未考虑地球自转时） ： arcsin sinsini 纬度 =arctan costani 0 0 0 0 , 2 3 =, 2 , 经度 其他 这里的经度还要换算成, 的区间内，其过程省略，经换算后，东经为正，西经为负， 北纬为正，南纬为负。考虑自转只需要再用经度减去地球自转变化的经度即可。 利用 MATLAB 可以求得星下点轨迹如图 3： 航天器轨道动力学作业 - 9 - 图 3 本题用到的 MATLAB 程序： clc;clear;close all; r=trans_mat(z,-100)*trans_mat(y,41)*6771,0,0; v=trans_mat(z,-100)*trans_mat(y,41)*8.5*sin(deg2rad(5),- 8.5*cos(deg2rad(5)*sin(deg2rad(30),8.5*cos(deg2rad(5)*cos(deg2rad(30); r1=norm(r); v1=norm(v); x=1 0 0; y=0 1 0; z=0 0 1; miu=3.986e5; h=cross(r,v);%h 为角动量 h1=norm(h); n=

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