《信号处理与系统分析》(高政)电子教案 第4章傅里叶变换
74页1、第4章 傅里叶变换,本章介绍连续时间傅里叶变换。 上一章我们讨论了周期信号的傅里叶分析,然而,我们要处理的信号中,还有相当大一部分信号是非周期信号。有必要考虑非周期信号的傅里叶分析。,4.1 非周期信号的傅里叶分析,首先,我们从周期信号的傅里叶级数入手,然后,让周期信号的周期趋向于无穷大,从而研究其频谱的变化。,抽样函数或者称为采样函数:,通过罗必塔法则,可以得到,抽样函数右边的第一个过零点在,偶函数,4.1.2 傅里叶变换,对于任意的连续信号(可能是周期的也可能是非周期的,也可能在负无穷大到正无穷大时间段都不为零),周期延拓,定义一个连续函数,傅里叶反变换,傅里叶正变换,傅里叶变换,频谱,4.1.3 傅里叶变换的收敛问题,傅里叶级数的推导过程源于周期信号的傅里叶级数。在数学上,傅里叶变换的收敛条件和傅里叶级数的收敛条件是类似的。与周期信号的情况一样,我们采用能量的观点来讨论傅里叶变换的收敛性。,逼近,收敛的标准是能量为零:,不进行收敛性的证明,只呈现一些结论:,1、平方可积,绝对可积,b.在有限的区间内,只有有限的极值; c.在有限的区间内,只有有限的不连续点。,2、狄里赫利条件,4
2、.1.4 傅里叶变换的实例,例题4.1 求 的傅里叶变换。,解:,的情况,不满足绝对可积和平方可积,傅里叶变换不存在。,例题4.2 求 的频谱。,解,单位冲激信号的频谱是常数1,或者说,在所有的频率点上,频谱的值都是恒定的。 这个例子的物理含义非常广泛,它意味着,尖脉冲信号的频谱非常宽,会对处于不同接收频率的电子设备产生干扰。 在生活中我们有这样的体验,当我们开灯的时候,电视和收音机的都受到了不同的干扰。我们知道收音机和电视机的接收频段是不一样的,这说明开灯的时候,电流的突变激发了一个尖脉冲的磁场,而这个磁场又激发了电场,形成一个尖脉冲的电磁波,这个尖脉冲电磁波的频谱是很宽的,它同时干扰了电视和收音机。电机干扰、大电流设备的开机所产生的电磁干扰等等都有这种因素。,例题4.3,解:,方波信号的频谱是一个抽样函数,例题4.4 求傅里叶反变换,解:,4.2 周期信号的傅里叶变换,本小节主要研究周期信号的傅里叶变换。 上一节的讨论并没有限定信号为非周期信号,周期信号当然也可以有傅里叶变换(注意,不是傅里叶级数)。 显然,周期信号是不满足傅里叶变换的收敛条件的,然而,鉴于周期信号的特殊地位,我们
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