《信号处理与系统分析》（高政）电子教案 第4章傅里叶变换

第4章 傅里叶变换,本章介绍连续时间傅里叶变换。 上一章我们讨论了周期信号的傅里叶分析，然而，我们要处理的信号中，还有相当大一部分信号是非周期信号。有必要考虑非周期信号的傅里叶分析。,4.1 非周期信号的傅里叶分析,首先，我们从周期信号的傅里叶级数入手，然后，让周期信号的周期趋向于无穷大，从而研究其频谱的变化。,抽样函数或者称为采样函数：,通过罗必塔法则，可以得到,抽样函数右边的第一个过零点在,偶函数,4.1.2 傅里叶变换,对于任意的连续信号（可能是周期的也可能是非周期的，也可能在负无穷大到正无穷大时间段都不为零）,周期延拓,定义一个连续函数,傅里叶反变换,傅里叶正变换,傅里叶变换,频谱,4.1.3 傅里叶变换的收敛问题,傅里叶级数的推导过程源于周期信号的傅里叶级数。在数学上，傅里叶变换的收敛条件和傅里叶级数的收敛条件是类似的。与周期信号的情况一样，我们采用能量的观点来讨论傅里叶变换的收敛性。,逼近,收敛的标准是能量为零:,不进行收敛性的证明，只呈现一些结论:,1、平方可积,绝对可积,b.在有限的区间内，只有有限的极值； c.在有限的区间内，只有有限的不连续点。,2、狄里赫利条件,4.1.4 傅里叶变换的实例,例题4.1 求 的傅里叶变换。,解：,的情况,不满足绝对可积和平方可积，傅里叶变换不存在。,例题4.2 求 的频谱。,解,单位冲激信号的频谱是常数1，或者说，在所有的频率点上，频谱的值都是恒定的。 这个例子的物理含义非常广泛，它意味着，尖脉冲信号的频谱非常宽，会对处于不同接收频率的电子设备产生干扰。 在生活中我们有这样的体验，当我们开灯的时候，电视和收音机的都受到了不同的干扰。我们知道收音机和电视机的接收频段是不一样的，这说明开灯的时候，电流的突变激发了一个尖脉冲的磁场，而这个磁场又激发了电场，形成一个尖脉冲的电磁波，这个尖脉冲电磁波的频谱是很宽的，它同时干扰了电视和收音机。电机干扰、大电流设备的开机所产生的电磁干扰等等都有这种因素。,例题4.3,解：,方波信号的频谱是一个抽样函数,例题4.4 求傅里叶反变换,解：,4.2 周期信号的傅里叶变换,本小节主要研究周期信号的傅里叶变换。 上一节的讨论并没有限定信号为非周期信号，周期信号当然也可以有傅里叶变换（注意，不是傅里叶级数）。 显然，周期信号是不满足傅里叶变换的收敛条件的，然而，鉴于周期信号的特殊地位，我们不得不考虑周期信号的傅里叶变换。,周期信号,的傅里叶变换,可以表示为：,周期信号的傅里叶变换是不收敛的，因此，它的频谱也很特别，是冲激函数。 周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换是不一样的。 傅里叶级数是由一系列的频谱系数组成，这些频谱系数可以看成一个离散序列，而周期信号的傅里叶变换虽然是冲激函数串，但却是一个连续函数（这里的连续是离散的反义词，与数学分析里面的连续不是一个概念。） 值得注意的是，冲激信号是连续时间信号的特例，并非离散信号。,例题4.5 求周期方波的频谱,解：,例题4.6 求正弦波的频谱,解：,本例的结论在信号调制理论中有着广泛的应用,例题4.7 求一个冲激串的频谱,解：,4.3 傅里叶变换的性质,在讨论了傅里叶变换的定义以后，我们来研究一下傅里叶变换的性质。这些性质对于加深对傅里叶变换的理解有着重要的作用。,4.3.1 线性,如果，,也就是说，两个信号的线性组合的频谱，等于这两个信号的 频谱的线性组合。,4.3.2 时移性质,从极坐标形式看,4.3.3 共轭及共轭对称性,实信号,实信号的情况,1、直角坐标,2、极坐标,对傅里叶反变换公式两边求导,4.3.4 微分性质,4.3.5 时频尺度性质,我们来考察信号的尺度变换,的频谱,时域里面的一个尺度变化对应于频域里面的一个相反的尺度变化,时域里面的“窄”，对应于频域里面的“宽”。,分析实信号为偶函数或者奇函数的情况,实偶信号,实偶信号的频谱也是实偶的,实奇信号,实奇信号的频谱是纯虚的、奇的,一般实信号,也就是说，实数信号的偶部的频谱等于该实数信号的频谱的 实部，实数信号的奇部的频谱等于该实数信号的频谱的虚部。,解析式上的相似性,写成,4.3.6 对偶性质(Duality),例题4.9 求,的傅里叶变换。,解：根据例题4.2，我们有，,利用对偶性,利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。 （1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，,（2）下面将时移性质与对偶性结合，,（3）下面将积分性质与对偶性结合，,再利用尺度性质，可得，,可以证明，对于能量有限信号,4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理,对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。,我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式,下面分析两个信号的卷积的频谱。,4.4 卷积性质,两个信号的卷积的频谱等于这两个信号的频谱的乘积,可以将频率响应理解为由频率来决定系统的响应，或者说不同的频率产生不同的响应。,由此可见，在频域里面，LTI系统的输出信号的频谱等于其输 入信号频谱乘以该系统的频率响应。显然，乘法比卷积更加容 易实现，因此，LTI系统的分析将更加地简单。,频率响应,卷积性质是频率滤波器的理论基础。对于一个滤波器,可以认为是滤波器系统对于输入信号的不同频率分量的放大 倍数。下面是高通、低通、带通滤波器的性质，,在这里，我们进一步来理解频谱,我们将一个信号除,以外的频率分量“滤掉”,带通滤波器,的含义。,的能量就等于,可以说，,表示了信号,在,从这个意义上来说，,与随机变量的概率密度函数的含义类似。,处的能量密度。,从频域的观点来看，,也可以看成是对LTI系统的刻画和描述。,根据傅里叶变换的收敛性讨论，,系统稳定，,2.单位冲激响应在有限的区间内只有有限个极值； 3.单位冲激响应在有限的区间内只有有限个不连续点。,收敛的充分条件为，,可以利用对偶性证明信号相乘在频域里面的情况,4.5 相乘性质,两个信号的乘积的频谱正比于这两个信号的频谱的卷积,时域 乘积 卷积,频域 乘积 卷积,例题4.12 考虑,的频谱，其中,解：,例题4.13 考虑,的频谱，其中,解：,