高考知识·方法篇专题四三角函数与平面向量第19练
12页1、第19练关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型分析高考展望平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算,应用十分广泛,对向量本身,通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题,另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题,因此是高考必考内容,题型有选择题、填空题,也在解答题中出现,常与其他知识结合,进行综合考查体验高考1(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a,ABC60,则等于()Aa2 Ba2C.a2 D.a2 答案D解析如图所示,由题意,得BCa,CDa,BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2,BDa.|cos 30a2a2.2(2015重庆)若非零向量a,b满足|a|b|,且(ab)(3a2b),则a与b的夹角为()A. B.C. D答案A解析由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0,即3a2ab2b20.又|a|b|,设a,b,即3|a|2|a|b|cos 2|b|20,|b|2|b|2cos 2|b|20,cos .又0,.3(2015陕西)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab
2、|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2答案B解析对于A,由|ab|a|b|cosa,b|a|b|恒成立;对于B,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于C、D容易判断恒成立故选B.4(2016课标全国乙)设向量a(m,1),b(1,2),且|ab|2|a|2|b|2,则m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2,得ab,所以m1120,得m2.5(2016上海)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,1),P是曲线y上一个动点,则的取值范围是_答案0,1解析由题意知y表示以原点为圆心,半径为1的上半圆设P(cos ,sin ),0,(1,1),(cos ,sin 1)所以cos sin 1sin()10,1的范围为0,1高考必会题型题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形,|6,|4,若点M,N满足3,2,则等于()A20 B. 15 C9 D6(2)(2015福建)已知,|,|t,若点P是ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A13 B15 C19 D21答案(1)C(2)A解析(1),(43)(4
3、3)(16292)(1662942)9,故选C.(2)建立如图所示坐标系,则B,C(0,t),(0,t),t(0,t)(1,4),P(1,4),(1,t4)1717213,故选A.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式:一是依据长度和夹角,二是利用坐标运算,具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择注意两向量a,b的数量积ab与代数中a,b的乘积写法不同,不应该漏掉其中的“”(2)向量的数量积运算需要注意的问题:ab0时得不到a0或b0,根据平面向量数量积的性质有|a|2a2,但|ab|a|b|.变式训练1在ABC中,ADAB,2 ,|1,则等于()A2 B.C. D.答案A解析在ABC中,2 ,所以()(2 ),又因为,所以(12)2 (12)2 (12)2 2,因为ADAB,所以,所以0,所以(12)0212,故选A.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)设a,b为非零向量,|b|2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A. B. C.
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