高考知识·方法篇专题四三角函数与平面向量第19练

第19练关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型分析·高考展望平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查体验高考1(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60°，则·等于()Aa2 Ba2C.a2 D.a2 答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120°.BD2BC2CD22BC·CD·cos 120°a2a22a·a×3a2，BDa.·|cos 30°a2×a2.2(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D答案A解析由(ab)(3a2b)得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|·|b|·cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20，cos .又0，.3(2015·陕西)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|a·b|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2答案B解析对于A，由|a·b|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立故选B.4(2016·课标全国乙)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m×11×20，得m2.5(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0，1)，P是曲线y上一个动点，则·的取值范围是_答案0,1解析由题意知y表示以原点为圆心，半径为1的上半圆设P(cos ，sin )，0，(1,1)，(cos ，sin 1)所以·cos sin 1sin()10,1·的范围为0,1高考必会题型题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则·等于()A20 B. 15 C9 D6(2)(2015·福建)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则·的最大值等于()A13 B15 C19 D21答案(1)C(2)A解析(1)，·(43)·(43)(16292)(16×629×42)9，故选C.(2)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，··(1，t4)1717213，故选A.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b0时得不到a0或b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|a·b|a|·|b|.变式训练1在ABC中，ADAB，2 ，|1，则·等于()A2 B.C. D.答案A解析在ABC中，2 ，所以·()·(2 )·，又因为，所以·(12)2 ·(12)·2 ·(12)·2 2，因为ADAB，所以，所以·0，所以·(12)×02×12，故选A.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成若x1·y1x2·y2x3·y3x4·y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D0(2)已知向量a，b满足|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)2x33|a|x26a·bx5在R上单调递减，则向量a，b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案(1)B(2)D解析(1)设a与b的夹角为，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S(xi·yi)，则S有以下三种情况：S2a22b2；S4a·b；S|a|22a·b|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，又0，故选B.(2)设向量a，b的夹角为，因为f(x)2x33|a|x26a·bx5，所以f(x)6x26|a|x6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f(x)0在R上恒成立，所以36|a|24×(6)×(6a·b)0，解得a·b|a|2，因为a·b|a|b|·cos ，且|a|2|b|0，所以|a|b|cos |a|2cos |a|2，解得cos ，因为0，所以向量a，b的夹角的取值范围是，故选D.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角变式训练2已知点O是ABC的外接圆圆心，且AB3，AC4.若存在非零实数x、y，使得xy，且x2y1，则cosBAC的值为()A. B.C. D.答案A解析如图，由xy，得·|·，·|·8；联立x2y1解得，或x，y都不为0，cosBAC.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，点P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案(1)3(2)5解析(1)由|2ab|，则|2ab|210，及4a24a·bb210，又向量a，b的夹角为45°，且|a|1，所以4×14×1×|b|cos |b|210，即|b|22|b|60，解得|b|3.(2)方法一以点D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0x1)，(1x)，x，(1x)，3(34x)，|3|222××(34x)·(34x)225(34x)2225，|3|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|即可求解(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|.变式训练3已知向量a，b，c满足|a|4，|b|2，a与b的夹角为，(ca)·(ca)1，则|ca|的最大值为()A. B.1C. D.1答案D解析在平面直角坐标系中，取B(2，0)，A(2，2)，则a，b，设c(x，y)，则(ca)·(cb)(x2，y2)·(x2，y)(x2)2y(y2)1，即(x2)2(y)21，所以点C(x，y)在以D(2，)为圆心，1为半径的圆上，|ca|，最大值为|AD|11.故选D.高考题型精练1已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则·等于()A. B.C D答案D解析由题四边形ABCD的边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF平行于BD，则··×1×1×cos 120°.2(2016·课标全国丙)已知向量，则ABC等于()A30° B45°C60° D120°答案A解析|1，|1，cosABC.又0°ABC180°，ABC30°.3(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6 B7 C8 D9答案B解析由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，故2(4,0)，设B(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，1x1，当x1时有最大值7，故选B.4已知三点A(1，1)、B(3,1)、C(1,4)，则向量在向量方向上的投影为()A. BC. D答案A解析(2,3)，(4，2)，向量在向量方向上的投影为，故选A.5(2015·安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCa·b1 D(4ab)答案D解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以a·b|a|b|cos 120°1，所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，故选D.6设非零向量a，b的夹角为，若存在mR，使得向量2amb与amb的夹角也为，则cos 的最小值是_答案1解析如图，设a，b，2a，mb，且|2a|>|mb|，|a|<|mb|，则有非零向量a，b的夹角为，向量2amb与amb的夹角也为，此时cos 的最小值是cos 1.7已知非零平面向量a，b，c满足a·cb·c3，|ab|c|2，则向量a在向量c方向上的投影为_