弹性力学li2015-06 (1)教材

1、弹性力学,6 温度应力平面问题概论,当弹性体的温度发生变化时，将发生膨胀或收缩变形，当这种变形受到约束（外在约束或物体内部各部分之间的约束）时，即产生应力（温度应力）。,什么是温度应力？,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,首先计算弹性体的温度场，求出变温； 然后根据弹性体的变温求出弹性体内各点的温度应力。,分析思路：,（平面热弹性力学问题概论）,（1）热传导,6.1 基本概念,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之相接触的另一物体。,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,分类：按时间分类；按空间分类。,计算方法：根据热传导方程求解；近似数值求解；利用半理论半经验公式求解。,任一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律，称为该瞬时的温度场。,（2）温度场,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,（3）等温面（线）,沿等温面的法线方向，温度的变化率最大。,任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得到的曲面，称为该瞬时的等温面。,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,（4）温度梯度,表示

2、温度T在某一点P处的变化率，为矢量，沿着等温面的法线方向，指向增温的方向。,该点P沿坐标的变温率为：,（5）热流速度 相似于水流流量, 单位时间内通过等温面面积S的热量，量纲：L2MT-3,表示该点的最大变温率的方向和大小。,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,（6）热流密度 相似于水流速度,其矢量形式为：, 单位时间内通过等温面单位面积的热量，量纲： MT-3, 沿等温面法线方向，指向降温方向。,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,（6）热流密度 相似于水流速度, 导热系数，表示在单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。量纲： LMT-3-1,亦可写为：, 热流密度与温度梯度成正比而方向相反。（热传导的基本定律）,投影为：,的大小为,即：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。,第六章 温度应力平面问题概论,6.1 基本概念,6.2 热传导微分方程及边值条件,第六章 温度应力平面问题概论,6.2 热传导微分方程及边值条件,（1）建立依据,（2）方程推导,在任意一段时间内，物体内任一微小部分所吸收的热量，等于传入热量+内部热源所供热量

3、。热量平衡原理, 吸收热量,令微小六面体的温度在dt时间内升高了 ，吸收的热量为：,第六章 温度应力平面问题概论,6.2 热传导微分方程及边值条件, 传入的净热量,沿x轴：,沿y轴：,沿z轴：,第六章 温度应力平面问题概论,6.2 热传导微分方程及边值条件, 内部热源供热,其中W为热源强度，表示单位时间单位体积供给的热量。, 热量平衡原理,即：,除以 ，并令 ，得：, 热传导微分方程,a为导温系数，量纲：L2T-1,第六章 温度应力平面问题概论,6.2 热传导微分方程及边值条件,（3）混凝土硬化期间的热传导方程,引入绝热温升代替W，经推导，可得：,混凝土硬化期间的热传导微分方程,第六章 温度应力平面问题概论,6.2 热传导微分方程及边值条件,（4）边值条件,初始条件：弹性体在初始瞬时的温度分布。 边界条件：物体表面与周围介质之间进行热交换的规律。 分四类:,第一类：已知物体表面温度，即：,第二类：已知物体表面法向热流密度，即：,第三类：已知物体边界上的对流放热情况，即：,第四类：已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行交换的情况，即：,或：,第六章 温度应力平面问题概论,6.2 热

4、传导微分方程及边值条件,按照边值条件求解热传导微分方程，在数学上是个难题，对于工程实际问题，用函数求解一般是不现实的。对于平面问题，可以用差分法求解，最好用有限单元法，对于空间问题，只能用有限单元法求解。,说明：,在以后的讨论中，T 表示温度的改变，而不是某一点的温度。,升温时， T 为正；降温时， T 为负。,1. 热弹性问题的基本假定,（1）,材料在热学和力学意义上都是弹性的、均匀的、各向同性的。即所有材料常数均与位置、方向无关。,（2）,材料常数与温度变化无关，或取平均值；不考虑蠕变、松驰和相变等发生。,（3）,不考虑温度变化速率所引起的惯性效应。,（4）,不计变形与温度变化之间的耦合效应。, 称非耦合的线性热弹性理论，简称“热弹性理论”。,2. 热弹性问题的基本方程,平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,第六章 温度应力平面问题概论,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,第六章 温度应力平面问题概论,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,（1）平衡微分方程（X=Y0）,（2）几何方程,表示物体内任意点的平衡关系,表示应变与位移之

5、间的纯粹的几何关系,注意：这里的应变和位移是由于变温和温度应力共同作用引起的。,不会由于引起应力的原因不同而有所改变。,不会由于引起应变和位移的原因不同而有所改变。,第六章 温度应力平面问题概论,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,（3）物理方程,由变温引起的应变：,由于变温，弹性体内各点的应变由两部分组成：,因为各向同性体，这种正应变在所有各方向均相同，因而不伴随任何剪应变，即：,若任一个微分体可以自由膨胀，不受约束，则由于变温T引起的正应变为：,第六章 温度应力平面问题概论,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,由温度应力引起的应变：,但是，由于弹性体所受的外在约束及体内各部分之间的相互约束，上述形变不能自由发生，于是就产生了应力，即温度应力。该温度应力又引起附加应变，满足虎克定律。,第六章 温度应力平面问题概论,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,则总的应变为：,第六章 温度应力平面问题概论,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,则物理方程为：, 平面应力问题,对于 平面应变问题，只须作变换：,（6-16）,若只受随x,y变化的变温T作用，不随z变化，则仍为平面应力问

6、题，即：,第六章 温度应力平面问题概论,6.3 热弹性力学的基本方程与边界条件,（4）边界条件,注意：式中的应力分量均为温度变化产生的温度应力。,位移边界条件：,应力边界条件：,，因只受到变温作用，不受外力。,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,第六章 温度应力平面问题概论,（1）方程推导,将几何方程代入上式：,由物理方程求得：,注意：温度应力分量包含两部分：由位移计算出的应力和变温计算出的应力。,（6-17）,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,再将（6-17）代入平衡微分方程（fx=fy=0），整理得：,将（6-17）代入应力边界条件中，整理得：,位移边界条件：,（6-19）,（6-18）,第二章 平面问题的基本理论,对比：,2.7 按位移求解平面问题,将式（a）代入平衡微分方程，简化以后，得：,（2-20）, 按位移求解平面应力问题的基本微分方程,将式（a）代入应力边界条件，简化以后，得：,（2-21）, 按位移求解平面应力问题的应力边界条件,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,（2）对比分析,将（6-18）、（6

7、-19）分别与（2-20）、（2-21）对比，可见：, 法向面力,结论：变温引起的位移等效于上述体力和法向面力 作用时的位移。,因此，温度应力就等于假想体力和假想面力所引起的应力，叠 加一各向相同的正应力,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,因此，可按应力边界条件（2-21）、位移边界条件（2-17）求出在上述体力和法向面力作用时，微分方程（2-20）的解答u,v后，再按（6-17）求得温度应力。即把温度应力平面问题变换为已知体力和面力的平面问题。,（2-20）,（2-21）,（2-17）,（6-17）,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,（3）举例,fx=fy=0，将变温作用转换为外力作用：,求图示混凝土浇注块均匀降温T0时的温度应力。,即转化为（b）图所示受到均布压力作用时的应力分量，再叠加一个相同的正应力：,即得（a）问题的解答。,（a）,（b）,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,（4）另一种解法：引入位移势函数,直接求解微分方程（6-18），并使u,v满足边界条件。,解题思路：（6

8、-18）为非齐次偏微分方程组，其解答包括两部分：特解+通解，且满足边界条件。,（6-18）,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,满足（6-18）的特解,引入位移势函数 ，取位移解为：,满足（6-18），即可作为一组特解。,(6-21),第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,将式(6-21)和式(6-22)代入式(6-17)，可得到用位移势函数表示的相应于位移特解的应力分量：,可以不满足应力边界条件，但与位移通解对应的应力分量叠加后应满足应力边界条件。,(6-23),第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,相应齐次方程（即不考虑变温T作用）的通解,求出相应的位移通解 ，代入（6-17）（T=0），即可求得相应的应力分量：,相应于（2-20），且fx=fy0,（2-20）,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,全解,则总的位移分量为：,总的应力分量为：, 满足位移边界条件, 满足应力边界条件,因 求解较困难，所以对于应力边界问题，可采用按应力求解方法求 ，即引入应力函数

9、，则：,第六章 温度应力平面问题概论,6.4 按位移求解温度应力的平面问题,对于 平面应变问题，只须作变换：,此时：,例：,图示矩形薄板，发生如下变温：,其中：T0 为常数。试求其应力分布。,解：,（1）由方程（6-22）求位移势函数 求特解,（6-22）,（a）,取位移势函数为,（b）,代入式（a），可确定常数A、B,两边比较系数，得常数A、B,将常数A、B代回式（b）, 有,求特解应力分量：,求特解应力分量：,（6-23）,得到：,（c）,相应的应力分布如图。,（2）满足方程（6-18）的通解,为满足无面力边界条件，在边界上加与上述特相反的面力，如图。,（2）满足方程（6-18）的通解,为满足无面力边界条件，在边界上加与上述特解相反的面力，如图。,把由此引起的应力作为补充解：,该问题中，当a、b大小相差不大时，其精确解难于求得，通常由数值方法求解。,而当 a b 时，矩形板的左右边界成次要边界，可圣维南原理近似满足其边界条件。此时可取应力函数：,可得相应于补充解的应力分量为：,把特解应力与补充解的应力叠加得：,的应力边界条件。,把特解应力与通解的应力叠加得：,边界条件：,显然，后三个边界条件是满足的，而第一个边界不能满足。,借助于圣维南原理，应有,（d）,将式（d）代入计算，得,（3）将特解与通解叠加，以满足边界条件,可求得：,代回应力表达式，有,应力分布如图。,温度应力问题求解步骤小结：,（1）,由温度场的条件，确定温变函数 T,（2）,由式（6-22）求解位移势函数,（6-22）,进一步由式（6-23）求特解对应的应力：,（6-23）,（3）,不计温变T，求满足方程（6-18）的补充解（位移）或对应的应力。,（3）,不计温变T，求满足方程（6-18）的补充解（位移）或对应的应力。,（6-24）,或由应力函数法，求补充解对应的应力（一般如此）。,（4）,其应力边界条件，可由特解在边界上给出的面力加以负号

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