实变函数与泛函分析要点
16页1、实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本要求:1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。3、 会求已知集合的并、交、差、余集。4、 了解对等的概念及性质。5、 掌握可数集合的概念和性质。6、 会判断己知集合是否是可数集。7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。8、了解半序集和Zorn引理。第二章 点集 基本要求:1、 理解维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。4、 会求己知集合的开集和导集。5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质,掌握一批例子。6、 会判断一个集合是非是开(闭)集,完备集。7、 了解ano曲线概念。主要知识点:一、基本结论:1、 聚点性质2中1聚点原则:P0是的聚点 P0的任一邻域内,至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列Pn,使Pn P0 (n) 2、 开集、导集、闭集的性质中T2、TT2:设AB,则AB,,。3:(B)=A B3、 开(闭)集性质(
2、3中1、2、3、4、5)1:对任何ER,是开集,和都是闭集。(称为开核,称为闭包的理由也在于此)T2:(开集与闭集的对偶性)设E是开集,则CE是闭集;设E是闭集,则CE是开集。3:任意多个开集之和仍是开集,有限多个开集之交仍是开集。:任意多个闭集之交仍是闭集,有限个闭集之和仍是闭集。T5:(n-Boe有限覆盖定理)设F是一个有界闭集, 是一开集族iI它覆盖了F(即Ui),则 中一定存在有限多个开集1,U,它们同样覆盖了F(即F i)(I)4、 开(闭)集类、完备集类。开集类:R,开区间,邻域、闭集类:R,,闭区间,有限集,E、E、P完备集类:,,闭区间、二、基本方法:1、判断五种点的定义;2、利用性质定理,判断导集、邻域等;、判断开集、闭集;、关于开闭集的证明。第三章 测度论 基本要求:1、 理解外测度的概念及其有关性质。2、 掌握要测集的概念及其有关性质。3、 掌握零测度集的概念及性质。4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集,掌握一批可测集的例子。5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。6、 掌握“判断集合可测性”的方法,会进行有关可测集的证明。 要点归纳:外测度:定义:ER
3、i(开区间)IiE (E)=infIi 性质:(1) 0mE(非负) ()若A则m*A *(单调性) (3)m(Ai)m*Ai(次可列可加性)可测集:ER 对任意的T有:(T)= m*(E)+ *(TE)称E为可测集,记为mE 其性质: 1)1:E可测 AE BCE使m*(AB)= m*A+ m 2)T:可测CE可测运算性质:设S1、2可测1S2可测(T3); 设S1、S2可测1S可测 (T); 设S1、2可测S-S2可测 (T5)。 S、S2Sn可测 Si可测 (推论) Si可测() S1、S2Sn可测,SiSjSi可测 m(Si)= m(Si)(T)S递增,1S2S3lim(Si)=limSi=Ms(T8) i递降可测,S1S23当S1是可测集,称(x)是E上的可测函数可测任意的R 是可测集 任意的 E是可测集 任意的 E是可测集任意的, E在上可测(3) (四则运算) ,在E上可测+g,,,1/ 在上可测。(4) 极限运算 n是可测函数列,则=infn (x)=up n可测(5)F=li G= 可测 (5) 与简单函数的关系:在E上可测 总可以表成一列简单函数的极限函数 =n,而
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