实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本要求:1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。3、 会求已知集合的并、交、差、余集。4、 了解对等的概念及性质。5、 掌握可数集合的概念和性质。6、 会判断己知集合是否是可数集。7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。8、了解半序集和Zorn引理。第二章 点集 基本要求:1、 理解维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。4、 会求己知集合的开集和导集。5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。6、 会判断一个集合是非是开(闭)集，完备集。7、 了解ano曲线概念。主要知识点：一、基本结论:1、 聚点性质§2中1聚点原则:P0是的聚点 P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列Pn,使Pn P0 （n） 2、 开集、导集、闭集的性质§中T2、TT2：设AB,则AB,，。3：（B)=A B3、 开(闭）集性质（§3中1、2、3、4、5）1：对任何ER，是开集，´和都是闭集。(称为开核,称为闭包的理由也在于此）T2：(开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集,则CE是开集。3:任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。:任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。T5:(n-Boe有限覆盖定理)设F是一个有界闭集， 是一开集族iI它覆盖了F(即Ui）,则 中一定存在有限多个开集1，U,它们同样覆盖了F（即F i）(I)4、 开(闭）集类、完备集类。开集类:R，开区间,邻域、闭集类:R,，闭区间，有限集，E、E、P完备集类:,，闭区间、二、基本方法：1、判断五种点的定义;2、利用性质定理，判断导集、邻域等;、判断开集、闭集;、关于开闭集的证明。第三章 测度论 基本要求：1、 理解外测度的概念及其有关性质。2、 掌握要测集的概念及其有关性质。3、 掌握零测度集的概念及性质。4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。6、 掌握“判断集合可测性”的方法,会进行有关可测集的证明。 要点归纳:外测度:定义:ER i（开区间)IiE (E）=infIi 性质：(1) 0mE(非负) (）若A则m*A *（单调性) (3）m（Ai）m*Ai（次可列可加性)可测集:ER 对任意的T有:(T）= m*(E）+ *(TE)称E为可测集，记为mE 其性质： 1)1:E可测 AE BCE使m*(AB）= m*A+ m 2)T：可测CE可测运算性质：设S1、2可测1S2可测(T3）； 设S1、S2可测1S可测 （T）; 设S1、2可测S-S2可测 （T5)。 S、S2Sn可测 Si可测 (推论） Si可测() S1、S2Sn可测，SiSjSi可测 m(Si)= m(Si)(T)S递增，1S2S3lim(Si)=limSi=Ms（T8) i递降可测,S1S23当S1< m(i)=lim mn (T9)可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、0,1、P零测度集的子集是,有限个、可数个零测度集之并是。2）区间是可测集 m )开集、闭集；4）Borl集 定义,设G可表为一列开集的交集，且称G为G型集如1,1；设F可表为一列闭集之并，则称为F型集,如0,Borel集 定义：从开集出发,用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集(不超过可数次)的集合。T6:设E是任一可测集，存在G 集,使EG,且(-E）T7：设E是任一可测集,存在G集,使F,且m(-E）=可测集是存在的。第四章 可测函数 基本要求：1、 掌握可测函数的概念和主要性质。2、 掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立(几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛）的概念。 3、 掌握一批可测函数的例子。4、 掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。5、 理解叶果洛夫定理和鲁金定理。6、 了解依测度收敛的概念及其性质。7、 理解三种收敛之间的关系。(一) 基本概念1可测函数：是定义在可测集ER上的实函数，任意的RE>是可测集,称(x）是E上的可测函数可测任意的R 是可测集 任意的 E是可测集 任意的 E是可测集任意的， E<是可测集 ( +）几乎处处成立连续函数、简单函数3依测度收敛、收敛 、一致收敛 (二）基本结论：可测函数的性质(8个定理)（1） 充要条件(T1)个等价条件（2） 集合分解3（2)，在之并Ei上，且在Ei上可测=>在上可测（3） (四则运算） ，在E上可测+g,，,1/ 在上可测。（4） 极限运算 n是可测函数列，则=infn （x)=up n可测（5)F=li G= 可测 （5） 与简单函数的关系:在E上可测 总可以表成一列简单函数的极限函数 =n,而且可以办到232.p定理：mE 是E上a.e于一个ae有限的函数的可测函数 对任意的>0 存在子集E 使得n在上一致收敛 且m(EE）<定理：是E上.e有限可测函数,任意>0闭子集E使得在E上连续 且m(EE）<即在上a.e有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。可测函数类:连续函数（T)、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。5三种收敛之间的关系:( ER mE<+)一致收敛测度收敛 几乎处处收敛 （Ries:f 则fif e于E ) ese:1) mE<+；2）fn E 上.e有限的可测函数列;3) f E 上a.e收敛于e有限的f ð fnf(x)在此mE<+条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛 补充定理（见复旦§3.2 T5) m+， fn是E上可测函数列 n f f 的（任何子列）fi,总可以找到子子列(） fnj f .e于E 三、基本方法 :1判函数可测（1） 集合判别法，任意的R f 是可测集（2） 集合分解法，E=Ei EiEj= f在Ei上可测（3） 函数分解法，可表为若干函数的运算时（4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1，T8)（5） 可测函数类判断三种函数之间的关系 第五章 积分论 基本要求:1、 了解可测分划、大（小)和、上（下)积分、有界函数L可积和L积分的概念。2、 掌握有界函数L积分的性质。3、 理解非负函数积分与L可积的概念。4、 理解一般函数的积分确定、L积分与L可积的概念。5、 掌握一般函数的L积分的性质。6、 掌握积分极限定理。7、 弄清L积分与R积分之间的关系。8、 熟练掌握计算L积分的方法。9、 会利用L积分极限定理进行有关问题的证明。10、 了解有界变差函数的概念及其主要性质。11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。esgue积分1、 Remnn积分 分割、作和、取确界、求极限。2、 Lebesge积分定义1:E=Ei,各Ei互不相交，可测，则称Ei为的一个分划，记作D=i定义2:设是定义在ER(E<）上的有界函数，=i令Bf(x) b=f(x）大和S(D,f）=BiEi = S（D，f）小和(D,f）=bimi=(D，) （D,f)S（,f）定义3：设f是定义在R(E<)上的有界函数上积分:f（x)x=inf（D,f)下积分： f（x）d=up （D，f)若上下积分相等,则称f在E上可积，其积分值叫做积分值，记(L）E f(x）1：设 是定义在ERq(m<）上的有界函数,则f在上L可积任意的 0 S(D，f)（D，）<T：f在E上L可积f在上可测 (*）对有界函数而言,可积可测T：，g有界,在E上可测，f±g，fg,fg， f可积T4:f在a，上R可积L可积,且值相等 *L积分的性质：-（1)：f在E上L可积,则在E的可测子集上也L可积;反之,=E1E E12= E1、E2可测,若f在E上可积,则f在E上可积Efdx=dx+ E2fx （积分的可加性) ()f, 在E上有界可测 E()dx= fd+Egd （3）任意cR Ecfdx=cfd (4)f，g在E上L可积，且fg则EfEg 特别地,bfB Efdx mE,BmE 推论1:(1）当mE=0 Efdx= （2）c Efdx=cmE（5）f在E上可积,则f可积,且EfdxEfdx T-2 (1)设f在上L可积0 fdx=0则=0.于E （）在上L可积，则对任意的可测集A属于E 使 Afdx=0 （绝对连续性） 推2:设f，在E上有界可积，且f= a.e于 则 fdx= E g dx 证明思路: E=E1E2 E1E2 =g (f- g)dx = E1+ 2 （f- g)dx0 注:）在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值，甚至在E的一个零测度子集 上无定义亦可. 2)从E中除去或添加有限个或可数个点L积分值不变