天津科技大学李伟版高等数学第三章习题解答
51页1、习题31(A)1判断下列叙述是否正确,并说明理由:(1)函数的极值与最值是不同的,最值一定是极值,但极值未必是最值;(2)函数的图形在极值点处一定存在着水平的切线;(3)连续函数的零点定理与罗尔定理都可以用来判断函数是否存在零点,二者没有差别;(4)虽然拉格朗日中值公式是一个等式,但将进行放大或缩小就可以用拉格朗日中值公式证明不等式,不过这类不等式中一定要含(或隐含)有某函数的两个值的差答:(1)不正确最值可以在区间端点取得,但是由于在区间端点处不定义极值,因此最值不一定是极值;而极值未必是最值这是显然的 (2)不正确例如在点处取极值,但是曲线在点却没有水平切线 (3)不正确前者是判断是否有零点的,后者是判断是否有零点的 (4)正确一类是明显含有的;另一类是暗含着的2验证函数在区间上满足罗尔定理,并求出定理中的解:显然在闭区间上连续,在开区间内可导,且,于是函数在区间上满足罗尔定理的条件, ,由,有,得,所以定理的结论也成立 3验证函数在区间上满足拉格朗日中值定理,并求出公式中的解:显然在闭区间连续,在开区间内可导,于是函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,由,有,得,所以定理的结论
2、也成立 4对函数、在区间上验证柯西中值定理的正确性,并求出定理中的 解:显然函数、在闭区间上连续,在开区间 内可导,且,在区间内,于是函数、在区间上满足柯西定理的条件,又,由,有,即,由于,得,所以定理的结论也成立5在内证明恒为常数,并验证证明:设,显然在内可导,且 ,由拉格朗日定理的推论,得在内恒为常数,设,用代入,得,所以6不求出函数的导数,说明有几个实根,并指出所在区间解:显然有三个零点,用这三点作两个区间,在闭区间上连续,在开区间内可导,又于是在满足罗尔定理,所以至少有,使得,同理至少有,使得,所以至少有两个实根 又因为是三次多项式,有时二次多项式,于是是二次代数方程,由代数基本定理,得至多有两个实根综上,恰有两个实根,且分别位于区间与内7证明下列不等式:(1) 对任何实数,证明;(2) 当时,证明:(1)当时,显然成立当时,取函数,显然在闭区间上连续,在开间内可导,由拉格朗日定理,有,使得,即,所以 当时,只要将上面的区间换为,不等式依然成立 所以,对任何实数,都有 (2)取函数,当时,函数在闭区间上连续,在开区间内可导,根据拉格朗日定理,有,使得 因为,则,所以8若函数在区
3、间具有二阶导数,且,其中,证明在区间内至少有一点,使得证明:根据已知,函数在区间及上满足罗尔定理,于是有,(其中),所得, 再根据已知及,函数在区间上满足罗尔定理,所以有,所得,即在区间内至少有一点,使得习题31(B)1在2004年北京国际马拉松比赛中,我国运动员以2小时19分26秒的成绩夺得了女子组冠军试用微分中值定理说明她在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h(马拉松比赛距离全长为42.195km)解:设该运动员在时刻时跑了(km),此刻才速度为(km/h),为解决问题的需要,假定有连续导数设起跑时,到达终点时,则,对函数在区间上用拉格朗日定理,有,所得,而 km/h,所以 对在区间及上分别使用连续函数的介值定理(注意 ,则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间),于是有,使得,这表明该运动员在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h2若函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,证明方程在开区间内至多有一个实根证明:采用反证法,若方程在开区间有两个(或两个以上)不同的实根,即,根据已知函数在上满足罗尔定理,于是有,使得,与在开区间内矛盾,所
4、以方程在开区间内至多有一个实根 (注:本题结论也适用于无穷区间)3证明方程只有一个正根证明:设(),则,根据上题结果,方程在内至多有一个实根 取闭区间,函数在上连续,且,由零点定理,有,使得,从而方程在内至少有一个实根 综上,方程只有一个正根,且位于区间内4若在内恒有,证明证明:(方法1)设函数,则,根据拉格朗日定理的推论恒为常数,设,用代入,得,记,则,所以 (方法2)记,若,则满足;若,对函数以为端点的闭区间上用拉格朗日定理,则有介于与之间,使得,即,所以5若函数在区间可导,且满足,证明.证明:设函数(),则,由,得,根据拉格朗日定理的推论恒为常数,设,用代入,且由,得,所以,即6证明下列不等式(1)当时,证明;(2)对任何实数,证明证明:(1)取函数()显然函数在区间上满足拉格朗日定理,则有,使得,即,所以 (2)当时,显然 当时,取函数,对在以为端点的闭区间上用拉格朗日定理,则有介于与之间,使得,即,所以 综上,对任何实数,都有7若函数在闭区间,上连续,在开区间(,)内可导,(其中),且在闭区间,上证明证明:对,当时,不等式成立当时,根据已知,函数在以为端点的区间上满足拉格朗日
《天津科技大学李伟版高等数学第三章习题解答》由会员cl****1分享,可在线阅读,更多相关《天津科技大学李伟版高等数学第三章习题解答》请在金锄头文库上搜索。
ISO认证质量手册
展会展览部岗位职责共5篇(会展岗位及主要职责)
酒香不怕巷子深辩论赛
教育技术处竞聘演讲词
锦江区柳江新居五期工程单位质量评估报告
2023新学期中班安全工作计划(二篇)
培养幼儿在体育活动中的劳动意识
电影神探夏洛克Sherlock.The.Abominable.Bride台词剧本中英文对照完整版
2023采购年度工作计划标准范本(三篇).doc
企业基本资料表
变量间的相关关系讲义
小学四年级英语下册
高中物理第五章第三课时动能定理及应用解析
八年级美术工作计划范文(三篇).doc
高三毕业班教学工作总结范文(三篇).doc
工作方案范文汇总九篇范本
产后出血的急救与护理
汉语类词缀的特点
生日手机祝福短信2023.doc
XX渠道衬砌施工作业指导书最终版
2023-05-19 3页
2022-10-17 13页
2023-12-10 4页
2022-10-30 11页
2023-03-12 3页
2023-08-21 7页
2023-05-25 3页
2023-03-07 7页
2023-02-14 5页
2023-03-20 3页