北京市西城区北京师范大学第二附属中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）

1、北京市西城区北京师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）北京市西城区北京师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【详解】根据题意得，故，答案选C.【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很小.2.下列命题中的假命题是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B。考点：特称命题与存在命题的真假判断。【此处有视频，请去附件查看】3.若复数满足，则的共轭复数的虚部是( )A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由复数的加减运算求出，得到共轭复数，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此其共轭复数为，所以虚部为.故选：B【点睛】本题主要考查复数的虚部，熟记复数的概念，复数的加减运算，以及复数的共轭复数即可，属于基础题型.4.在中，内角为钝角，则（）A. 2B. 3C. 5D. 10【答案】A【解析】【分析】先根据同角三角函数平

2、方关系求，再根据余弦定理求【详解】因为为钝角，所以因此由余弦定理得（负值舍去），选A.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.5.若不等式成立的必要条件是，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得：，不等式成立的必要条件是，故，故选A.6.在等比数列中，前项和为，若数列也等比数列，则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据数列也是等比数列，得到，求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，又数列也是等比数列，所以，即，解得，所以；因此；故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.7.如图，在梯形中，为边上一点，则的最小值为A. 10B. 12C. 15D. 16【答案】C【解析】【分析】先取CD中点N，化简，再根据N到直线AB距离最小值得结果.【详解】取CD中点N，则,在AB上取AE=2，连接CE，则四边形AECD为平行四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=

3、4,所以,即,选C.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.8.函数在上有定义,若对任意,有则称在上具有性质.设在1,3上具有性质,现给出如下题:在上的图像是连续不断的; 在上具有性质;若在处取得最大值,则;对任意,有其中真命题的序号（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】可以不连续，只要满足图像是向下凸的特征即可。正确。由性质的定义可知1,3具有性质，则在此子区间上也应具有此性质正确.f(x)在x=2处取得最大值1，故对任意x1,x2属于1,3，有,所以对任意，有，而,故f(x)=1，.令,二、填空题9.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60，则等于_；【答案】【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.10. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题 若函数的图象与的图象关于 对称，则函数 （注：填上你认为可以成为

4、真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）【答案】轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，【解析】试题分析：基于对对数函数图象、指数函数图象的认识，从多角度考虑。轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，均可。考点：本题主要考查命题的概念及其关系、对数函数的图象和性质。点评：属开放性题目，注意运用数形结合思想。11.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_.【答案】.【解析】【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.12.在中，a15，b10，A60，则cos B_【答案】【解析】【详解】试题分析：由正弦定理可得，解得。所以。因为，所以，所以角为锐角，所以,考点：1三角形中正弦定理；2同角三角函数基本关系式。13.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则_.【答案】【解析】【分

5、析】先过点作垂直准线于点，由抛物线定义得到，再由题意求出，得到，即可求出结果.【详解】过点作垂直准线于点，由抛物线定义可得：，又，所以，因此，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，熟记抛物线的定义即可，属于常考题型.14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：函数的对称中心坐标为_；计算_.【答案】 (1). （，1） (2). 2018【解析】【分析】先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果；先由得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，由得，此时，由题意可得，即为函数的对称中心；由知，函数关于中心对称，所以，即，因此；记，则，所以.故答案为：；.【点睛】本题主要考查利用导数求对称中心，倒序相加法求函数值的和，熟记函数对称性，以及导数的计算公式即可，属于常考题型.三、解答题15.已知等差数列满足，前3项和.(1)求的通项公式；

6、(2)设等比数列满足，求的前项和.【答案】(1)an (2)=2n1【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据题意求出首项与公差，即可求出结果；（2）先设等比数列的公比为，根据题意求出公比，由求等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，前3项和，解得，（2）设等比数列的公比为，因为，所以，解得前项和【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即可，属于常考题型16.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间.【答案】(1).(2).【解析】【分析】试题分析： （1）观察图象可知，周期，根据点在函数图象上，得到，结合，求得；再根据点（0，1）在函数图象上，求得，即得所求.（2）首先将化简，利用“复合函数单调性”，由，得，得出函数的单调递增区间为.【详解】（1）由图象可知，周期，点函数图象上，解得，；点（0，1）在函数图象上，函数的解析式为.（2）=，由，得，函数的单调递增区间为17.已知圆.（1）直线与圆相交于两点，求弦的长度；（2）如图，设，是圆上两个动点，点关于原点的对称点为，点关

7、于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)先求出圆心(0,0)到直线的距离,再利用弦长公式求得弦长AB的值.(2)先求出的坐标,用两点式求直线的方程,根据方程求得他们在y轴上的截距m,n的值,计算mn的值,可得结论.试题解析：（1）由于圆心到直线的距离.圆的半径，所以.（2）由于，是圆上的两个动点，则可得，且，.直线的方程为，令求得.直线的方程为，令求得. .显然为定值.18.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（）求的值;（）若时,求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值（2） 由（1）知，,令,即证时先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值使其最小值大于等于0即可试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，设函数，由题设可得，即，令得, （6分）若，则，当时，当时，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而当时，即恒成立 （8分）若，则，

8、当时，在单调递增，而，当时，即恒成立，若，则，当时，不可能恒成立 （10分）综上所述，的取值范围为（12分）考点：用导数研究函数的性质【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；（2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【详解】（1）由已知得，l的方程为.由已知可得，点的坐标为或.所以的方程为或.（2）当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，则，直线、的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故、的倾斜角互补，所以.综上，.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.20.设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2

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