2019-2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后课时精练新人教A版必修
5页1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义A级:基础巩固练一、选择题1已知|a|2,|b|4,ab4,则向量a与b的夹角为()A30B60C150D120答案D解析cos,0,180,120.故选D.2已知向量a,b满足ab0,|a|1,|b|2,则|2ab|()A0B2C4D8答案B解析|2ab|24a24abb28,|2ab|2.3若平面四边形ABCD满足0,()0,则该四边形一定是()A直角梯形B矩形C菱形D正方形答案C解析由0,得平面四边形ABCD是平行四边形,由()0,得0,即平行四边形ABCD的对角线互相垂直,则该四边形一定是菱形4若非零向量a,b满足|a|b|,且(ab)(3a2b),则a与b的夹角为()AB CD答案A解析由题意,得(ab)(3a2b)3a22b2ab0,即ab3a22b2.又|a|b|,所以ab322b2b2,所以cosa,b,所以a,b.5已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若非零向量c满足(ac)(bc)0,则|c|的最大值是()A1B2 CD答案C解析因为|a|b|1,ab0,(ac)(bc)c(ab)|c|2|c|ab|cos|c|20
2、,其中为c与ab的夹角,所以|c|ab|coscos,所以|c|的最大值是,故选C.二、填空题6已知向量a,b的夹角为45,且|a|4,(2a3b)12,则|b|_;b在a方向上的投影等于_答案1解析ab|a|b|cosa,b4|b|cos452|b|,又(2a3b)|a|2ab3|b|216|b|3|b|212,解得|b|或|b|(舍去)b在a方向上的投影为|b|cosa,bcos451.7已知两个单位向量a,b的夹角为60,cta(1t)b.若bc0,则t_.答案2解析由题意,将bcta(1t)bb整理,得tab(1t)0,又ab,所以t2.8在平行四边形ABCD中,AD1,BAD60,E为CD的中点若1,则AB的长为_答案解析因为,所以()2211|cos60|21,所以|20,解得|.三、解答题9已知|a|2|b|2,且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角;(2)求(a2b)b;(3)当为何值时,向量ab与向量a3b互相垂直?解(1)|a|2|b|2,|a|2,|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos1,cos,.(2)(a2b)bab2b2123.(3)a
3、b与a3b互相垂直,(ab)(a3b)a23abba3b24313740,.10已知a,b是两个非零向量,当atb(tR)的模取得最小值时,(1)求t的值(用a,b表示);(2)求证:b与atb垂直解(1)|atb|2a2t2b22tabb22a2.当t时,|atb|取得最小值(2)证明:因为(atb)babtb2abb20,所以atb与b垂直B级:能力提升练1设向量a,b,c满足abc0,(ab)c,ab,若|a|1,则|a|2|b|2|c|2的值是_答案4解析由abc0,得(abc)20,得a2b2c22(abbcca)0.又(ab)c,ab,(ab)c0,ab0.acbc.a2b2c24bc,b2c214bc.由abc0,得bca,故(bc)21,即b2c22bc1.由得bc1,故a2b2c24,即|a|2|b|2|c|24.2在四边形ABCD中,已知AB9,BC6,2.(1)若四边形ABCD是矩形,求的值;(2)若四边形ABCD是平行四边形,且6,求与夹角的余弦值解(1)因为四边形ABCD是矩形,所以0,由2,得,.所以()()22368118.(2)由题意,所以22361818.又6,所以186,所以36.又|cos96cos54cos,所以54cos36,即cos.所以与夹角的余弦值为.
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