2019-2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后课时精练新人教A版必修

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义A级：基础巩固练一、选择题1已知|a|2，|b|4，a·b4，则向量a与b的夹角为()A30°B60°C150°D120°答案D解析cos，0°，180°，120°.故选D.2已知向量a，b满足a·b0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0B2C4D8答案B解析|2ab|24a24a·bb28，|2ab|2.3若平面四边形ABCD满足0，()·0，则该四边形一定是()A直角梯形B矩形C菱形D正方形答案C解析由0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由()·0，得·0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形4若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()AB CD答案A解析由题意，得(ab)·(3a2b)3a22b2a·b0，即a·b3a22b2.又|a|b|，所以a·b3×22b2b2，所以cosa，b，所以a，b.5已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(ac)·(bc)0，则|c|的最大值是()A1B2 CD答案C解析因为|a|b|1，a·b0，(ac)·(bc)c·(ab)|c|2|c|ab|cos|c|20，其中为c与ab的夹角，所以|c|ab|·coscos，所以|c|的最大值是，故选C.二、填空题6已知向量a，b的夹角为45°，且|a|4，·(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的投影等于_答案1解析a·b|a|b|cosa，b4|b|cos45°2|b|，又·(2a3b)|a|2a·b3|b|216|b|3|b|212，解得|b|或|b|(舍去)b在a方向上的投影为|b|cosa，bcos45°1.7已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.答案2解析由题意，将b·cta(1t)b·b整理，得ta·b(1t)0，又a·b，所以t2.8在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60°，E为CD的中点若·1，则AB的长为_答案解析因为，所以·()·2·21×1×|cos60°|21，所以|20，解得|.三、解答题9已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)·b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos1，cos，.(2)(a2b)·ba·b2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)·(a3b)a23a·bb·a3b24313740，.10已知a，b是两个非零向量，当atb(tR)的模取得最小值时，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与atb垂直解(1)|atb|2a2t2b22ta·bb22a2.当t时，|atb|取得最小值(2)证明：因为(atb)·ba·btb2a·b×b20，所以atb与b垂直B级：能力提升练1设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_答案4解析由abc0，得(abc)20，得a2b2c22(a·bb·cc·a)0.又(ab)c，ab，(ab)·c0，a·b0.a·cb·c.a2b2c24b·c，b2c214b·c.由abc0，得bca，故(bc)21，即b2c22b·c1.由得b·c1，故a2b2c24，即|a|2|b|2|c|24.2在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·6，求与夹角的余弦值解(1)因为四边形ABCD是矩形，所以·0，由2，得，.所以·()·()·2·236×8118.(2)由题意，所以··2·236·1818·.又·6，所以18·6，所以·36.又·|cos9×6×cos54cos，所以54cos36，即cos.所以与夹角的余弦值为.