线性与非线性

1、线性与非线性非线性是相对于线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例，所以要弄淸非线性的 概念，明确什么是非线性，首先必须明确什么是线性，其次对非线性的界定必须从数学表述 和物理意义两个方而阐述，才能较完整地理解非线性的概念。(1) 线性对线性的界泄，一般是从相互关联的两个角度来进行的：其一，叠加原理成立：“如果1, W2是方程的两个解，那么aWl+b巾2也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍然是一个 态。” 1叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其二，物理变量 间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在英左义域内处处存在 且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。非线性在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：其一，“定义非线性算符N(d)为对一些a、b或讥W不满足L (a+bW)二aL(4)+bL(W) 的算符” 2,即叠加原理不成立，这意味着e与”间存在着耦合，对(ae+b4O的操作， 等于分别对e和巾操作外，再加上对e与巾的交叉项(耦合项)的操作，或者“、e是不连续 (有突变或断裂)、不可微(有折点的。其二，作为

2、等价的另一种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述一个系统 的一套确立的物理变量中，一个系统的一个变量最初的变化所造成的此变虽:或其它变量的相 应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在苴肚义域中有不存 在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的左义域内是不对称 的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统复杂性的根源。 对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，苴一叠加原理不成立必将导致其二物理变量关 系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表 述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前者对于考察 系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，后者对于考察特沱的变量间的关系(包 括变量的时间行为)将是方便的。关于非线性概念需要强调的是，线性或非线性的提法是相对于物理变量而言的，也就是说, 只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据，而非物理变疑的关系不能成为非线性与 否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义

3、的变量。 例如分形理论中，简单分形的分维D是恒量，在无标度区间内1 nN二DlnL, InN与InL是线性 关系，但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。这里的物理变量是N和L,而不是经 过对数变换的nN与InL,即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是N和L,而不是 InN和InL, N与L的关系N二LD是非线性的，所以可得岀分形是非线性的结论。再如，物价 对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统讣的棉花价格指数的无标度性)正是人们感兴趣 的、对人们有意义的，而且两者的关系是非线性的，所以物价随时间的变化是一种非线性现 象。说明狭义的非线性是指不按比例、不成直线的数量关系，无法用线性形式表现的数量关系，如曲 线、曲而等。而广义上看，是自变量以特殊的形式变化而产生的不同于传统的映射关系，如 迭代关系的函数，上一次演算的映射为下一次演算的自变量，显然这是无法用通常的线性函 数描绘和形容的。很显然，自然界事物的变化规律不是像简单的函数图像，他们当中存在着 并非一一对应的关系。如果说线性关系是互不相干的独立关系，那么非线性则是体现相互作 用的关系，正是这种相互作用，使得整体不再是简

4、单地全部等于部分之和，而可能出现不同 于线性叠加的增益或亏损。详细释义编辑 非线性的性质 非线性科学正处于发展过程之中，它所研究的兔门具体科学中的非线性普适类，有已经形成 的(如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如适应性与自涌行为)，还会有将要形成的，所 以非线性的性质还没有完全呈现出来，这里也就不可能全而地讨论非线性的性质。下而仅从 “非线性与线性的关系”、“非线性的物理机制”和“非线性与稳定性”三个方而作初步探讨0 (1)非线性与线性的关系非线性与线性是相对而言的，两者是一对矛盾的槪念，一方面两者在一左程度上可以相互转 化，另一方而两者又存在本质区别，再者两者同时存在于一个系统中，规左着系统相应方而 的性质。 非线性与线性的密切联系首先，在数学上一些线性方程可转化为非线性方程来解:物理上的一些非线性问题，也可以 通过数学变换而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性的 可积方程，从而求出了精确的解析解：一些非线性不强的问题，可用线性逼近方法将苴转化 为若干线性问题来求近似解，这是已在各门学科中广泛采用并相当有效的的方法。其次，在某些情况下，由方程得到的解析

5、解并不能提供更多的信息，无助于更好地理解系统 的行为，而从解的非线性形式中，我们却可以方便地得到所研究系统的重要性质。女I】：考虑 这样一个简单方程：d2X/dt2+X=0,它的解是X=Acos(t)+Bsin(t),从这个非线性形式中， 我们容易知道它是个周期函数，满足cos(t+2 n )=cos (t), sin(t+2 n )=sin(t)。而从cos(t) 和sin(t)的解析形式中，极难证明其具有相应的周期性这一重要性质。4所以，认为线性 方程可以得到解析解，非线性方程难以得到解析解，因而线性能给岀比非线性更多的有用 信息是不确切的。这意味着，对某些问题从非线性的角度考察不仅是可能的，而且有时也是 必要的。所以，线性与非线性在一泄程度上是可以相互转化的，这表明了线性与非线性之间有密切的 联系。 非线性与线性的本质区别非线性与线性虽然可以通过数学变换而相互转化，在数学上有一泄的联系，但是在同一视角、 同一层次、同一参照系下，非线性与线性又是有本质区别的。在数学上，线性函数关系是直线，而非线性函数关系是非直线，包括各种曲线、折线、不连 续的线等；线性方程满足叠加原理，非线性方程

6、不满足叠加原理：线性方程易于求出解析解, 而非线性方程一般不能得出解析解。在物理上，近线性问题(它不是我们所说的非线性问题)可用线性逼近方法求出一泄精确度的 解，即依据具体问题对精确度的要求，逐次解出若干个线性问题，把它们叠加起来，就能得 到很好的近似解。但是对于非线性问题，由于存有小参数发散及收敛慢等问题，线性逼近方 法将失效，特别是对于髙速运动状态、强烈的相互作用、长时间的动态行为等非线性很强的 情况，线性方法将完全无能为力。线性逼近方法的这些局限性，导致非线性方法的不可替代, 在无法用线性方法处理的强非线性的地方，只能用非线性方法。线性逼近方法并非经常能奏 效，这不光是方法论问题，也是自然观问题，自然界既有量变又有质变，5在质变中，自 然界要经历跃变或转折，这是线性所不能包容的。 非线性与线性在同一系统中的作用非线性与线性有一立的联系又有本质区别，它们常同时存在于一个系统之中，规左着系统不 同侧面的性质，一个确定的系统，一般都同时具有线性和非线性两种性质：首先，在一个给 定的非线性系统中，它的非线性性质决左它的平衡构造或说稳立机制是否存在，及存在的地 方。其次，系统的线性性质决定

7、着系统关于其平衡点(稳定结构)的小振动的规律，即系统在 稳定点附近的线性展开性质。6(2) 非线性的物理机制相对于非线性的数学表达而言，它的物理机制是更重要的，也是我们更感兴趣的。非线性的 物理机制有很多方而，至于哪方面是最根本的，还没有一致的认识。从非线性的泄义来看, 可以把非线性的物理机制表述为：一个测度的变化受到两个、两种或更多因素的联合影响， 换言之就是非一次项的影响。具体的非线性方式决左于参与联合作用的因素间联合作用的方 式，女口：两种或多种因素联合作用，Lorenz吸引子中的XZ是X与Z的联合作用：牛顿第 二定律F二ma2中，a2二aa是两个相同的对人有意义的物理变疑a与a的联合作用。下 而从相互作用、耗散性、有限性、多值性四个方而具体地讨论非线性的物理机制。 相互作用非线性的一个最主要的物理机制，可以说就是相互作用。之所以说世界在本质上是非线性的, 在很大程度上就是由于相互作用的普遍存在，完全孤立的事物是没有的(即使有，在原则上 它的存在本身也就包含了它与认识主体一一人的相互作用)。实际上，我们遇到的大都是处 于某种相互作用网之中的事物，而任何事物任受苴它事物作用、影响的

8、同时，也作用于、影 响着英它的事物，正如牛顿第三泄律所表述的那样，作用与反作用是同时存在的，所以，我 们要想准确地、深刻地认识一个事物，就要把该系统在其它系统作用下的行为规律与该系统 对其它系统的影响联介起来考虑。这种双向的作用一般就出现非线性项，成为非线性问题。 例如：场对粒子运动有作用，粒子的运动也使场发生变化，这时场方程和粒子运动方程就要 联合起来考察，从而使之成为非线性问题，7再如，人与自然、主体与客体都是双向作用 的关系，原则上都将是非线性问题。其实，双向作用的存在必将使其中之一通过对方而作用于自身，从而形成正的或负的反馈回 路，起到放大或抑制的作用，使任何初始变化都会产生不成比例的响应，呈现岀非线性现象。 耗散性这里所说的耗散性，是指能推动并维持系统远离平衡态的耗散性，而不是近平衡区内较弱的 耗散性。系统对能量的耗散是一个不可逆过程，输入系统的能量在流经输入端和输出端过程中，驱动 系统做某种单向的不可逆的运动，其间会使子系统间产生非线性连接，实现协同运动，从而 形成宏观有序状态。能量在系统内的耗散，相当于为系统内某些运动按了一个“泵”，这个 泵的作用在很多的情况下，就是系统

9、非线性现象的根源。例如：在BOnard实验中，扮演非 线性现象物理机制的正是耗散性，耗散性的不断加强，使系统达到远禽平衡态，产生规则的 宏观结构以至呈现混沌状态；与此类似的如：Lorenz吸引子的机制是太阳光加热大气，大 气在能疑耗散过程中，为耗散性所驱动而产生混沌运动：再如：画包师变换中，无论是拉伸, 还是折叠操作，实际上都是一种能量耗散过程。从另一个角度说，对能量的耗散增强，使子系统相互作用程度增强、方式增多，也就使系统 可能有的稳态的数目越来越多，局域稳左性越来越小，直到极端的混沌状态。在这一过程中， 对系统未来的发展轨迹将难以准确预测，即未来现实发展逍路的可能性越来越多，简并程度 越来越髙，因而可预测性越来越弱。这意味着耗散性导致了系统宏观运动时间反演对称性的 破缺，也就是说当耗散加强时，原则上从系统现在的状态无法精确预测其未来的状态，未来 不包含于现在之中，它有“新质”产生。 有限性现实的、具体的自然都是有限的自然，有限性及其结果蕴含于一切事物之中，在相应的方而 规定着一切事物的性质。我们应该把有限性作为考虑一切事物的基本前提之一，作为自然界 的一个基本事实。有限性在一泄情况下必然导致非线性，它是非线性的另一个重要机制。抽象地说，有限的事 物相对于无限的事物而言丧失了许多对称性，因而作用于苴上的操作及结果都可能对应着 由有限性直接导致的非对称性。具体地，如Robort May用以研究小生境的虫口模型，其非 线性项的存在，就是由于环境容量R的有限造成的，如果R无限大，那么此模型就自然成为 线性的了；拉伸机制与有限性造成的压缩机制的结合，才使奇异吸引子呈现局部不稳立性和 整体稳左性，产生特立的非线性形式一一混沌；除此之外，各种相互作用速度的有限、时空 域的有限、结构方式的有限等等都可成为导致非线性的物理机制。 多值性动力系统中常会出现某些变量的一个值对应着其它变量多个值的情况，从物理上说，就是 相同的条件对应着多种可能的状态，约束条件的弱化使系统状态的简并性强化，使可能性非 唯一化。多值性的存在，也就自然产生了多值解和对多种可能解的选择，多值性越强，系统 就可能

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