(福建专用)高考数学总复习 第八章第8课时 立体几何中的向量方法随堂检测(含解析)
2页1(2012福州质检)如图,在直角梯形ABCD中,ADC90,CDAB,AB4,ADCD2,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图所示(1)求证:BC平面ACD;(2)求BC与平面ABD所成角的正弦值解:(1)证明:由已知有ACBC2,从而AC2BC2AB2,故ACBC.取AC中点O,连结DO,则DOAC,又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,DO平面ACD,从而DO平面ABC,DOBC.又ACBC,ACDOO,BC平面ACD.(2)建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示,则A(,0,0),B(,2,0),C(,0,0),D(0,0,),(2,2,0),(,0,),(0,2,0)设平面ABD的法向量为n(x,y,z)则由得令x1,则n(1,1,1),sin.2如图,三棱柱ABCA1B1C1中,AA1面ABC,BCAC,BCAC2,D为AC的中点(1)求证:AB1面BDC1;(2)若AA13,求二面角C1BDC的余弦值;(3)若在线段AB1上存在点P,使得CP面BDC1,试求AA1的长及点P的位置解:(1)证明:连结B1C,交BC1于点O,连结OD,则O为B1C的中点,D为AC的中点,ODAB1,又AB1平面BDC1,OD平面BDC1,AB1平面BDC1.(2)AA1平面ABC,BCAC,AA1CC1,CC1平面ABC,则BC平面AA1C1C,CC1AC.如图建立空间直角坐标系,则C1(3,0,0),B(0,0,2),D(0,1,0),C(0,0,0)(3,1,0),(3,0,2)设平面C1DB的法向量为n(x,y,z),则即令x2,则n(2,6,3)又平面BDC的法向量为(3,0,0),二面角C1BDC的余弦值为cos,n.(3)设AA1a,则(a,2,2),(a,22,2)又(a,1,0),(0,1,2),CP平面BDC1,解得a2(2舍去),.所以AA12,点P在线段AB1上且APAB1.
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