（福建专用）高考数学总复习 第八章第8课时 立体几何中的向量方法随堂检测（含解析）

1(2012·福州质检)如图，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求BC与平面ABD所成角的正弦值解：(1)证明：由已知有ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC.取AC中点O，连结DO，则DOAC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DO平面ACD，从而DO平面ABC，DOBC.又ACBC，ACDOO，BC平面ACD.(2)建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则A(，0,0)，B(，2，0)，C(，0,0)，D(0,0，)，(2，2，0)，(，0，)，(0，2，0)设平面ABD的法向量为n(x，y，z)则由得令x1，则n(1,1,1)，sin.2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BCAC2，D为AC的中点(1)求证：AB1面BDC1；(2)若AA13，求二面角C1BDC的余弦值；(3)若在线段AB1上存在点P，使得CP面BDC1，试求AA1的长及点P的位置解：(1)证明：连结B1C，交BC1于点O，连结OD，则O为B1C的中点，D为AC的中点，ODAB1，又AB1平面BDC1，OD平面BDC1，AB1平面BDC1.(2)AA1平面ABC，BCAC，AA1CC1，CC1平面ABC，则BC平面AA1C1C，CC1AC.如图建立空间直角坐标系，则C1(3,0,0)，B(0,0,2)，D(0,1,0)，C(0,0,0)(3,1,0)，(3,0,2)设平面C1DB的法向量为n(x，y，z)，则即令x2，则n(2,6,3)又平面BDC的法向量为(3,0,0)，二面角C1BDC的余弦值为cos，n.(3)设AA1a，则(a，2，2)，(a,22，2)又(a,1,0)，(0,1，2)，CP平面BDC1，解得a2(2舍去)，.所以AA12，点P在线段AB1上且APAB1.