初中升高中数学衔接：教材12讲配答案

1、初高中数学衔接教材编者的话高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中那么是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求 值 域1取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基此题型和常用方法;6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，

2、它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，那么作为必备的根本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中那么作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和 定 理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中那么在使用。另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没有去延伸开掘，不利于高中数学的学习。高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，学习成绩大幅度下降，出现了严重的两极分化，心理失落感很大，过去的尖子生可能变为学习后进生，甚至，少数学生对学习失去了信心。初中数学教学内容作了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和新教材的教学，使高中数学在教材内容以及高考中都对学生

3、的能力提出了更高的要求，使得原来的矛盾更加突出。高中教材从知识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和联系上注重逻辑性，且数学语言抽象程度发生了突变，教材表达比拟严谨、标准而抽象。知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，表达了“起点高、难度大、容量多”的特点。其次，初中难度降低，有中考试卷的难度降低作保障；而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度并没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。如现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低了，那些在高中学习中经常应用到的知识，如十字相乘法、分组分解法等内容，都转移到高一阶段补充学习。这样初中教材就表达了“浅、少、易的特点，但却加重了高一数学的份量。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得中考好成绩。而高考要求那么不同，有的高中教师往往用高三复习时应到达的类型和难度来对待高一教学，造成了轻过程、轻概念理解、重题量的情形，造成初、高中教师教学方法

4、上的巨大差异，中间又缺乏过渡过程，至使新生普遍适应不了高中教师的教学方法。高中许多知识仅凭课堂上听懂是远远不够的，还需要认真消化。这就要求学生具有较强的阅读分析能力和自学理解能力。因此，在初、高中数学教学衔接中，教师要有意识地指导学生阅读数学课本，通过编拟阅读提纲，帮助学生理解和掌握数学概念，对某些简单章节内容的教学，可组织阅读讨论，以培养学生的自学理解能力以及独立钻研问题的良好习惯，引导学生主动参与观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生形成有效的学习策略。新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系，将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的缺乏,加以补充和完善。我们的目标是使所有的学生在努力之后，都能摘到相应的果实，所以我们要不惜时间与精力，进行初高中数学教学的衔接，让“衔接教学”更好地为高一新生铺设一条成功的路。南侨中学高一数学备课组目录第 一 章 数与式1.1 数与式的运算1.1.1 乘法公式.31.1.2 分式.41.2 分解因式.5第 二 章 二 次 方程、二次函数与二次不等式2.1 一元二次方程

5、2.1.1 根的判别式.112.1.2 根与系数的关系.132.2 二次函数2.2.1 二次函数y=ax?+bx+c的图像和性质.192.2.2 二次函数的三种表达方式.252.3 一元二次不等式的解法.28第 三 章 相似形、三角形3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理.333.1.2 相似三角形形的性质与判定.363.2 三角形3.2.1 三角形的四心、.403.2.2 几种特殊的三角形.43课后练习与习题答案.461.1 数与式的运算1.1.1 乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：(1)平方差公式(。十 份(。一)=/一；(2)完全平方公式=。2 2。/?+。我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式:m立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(。+b)(a2 一。+Z?)=；(Q )(/+C lb +(+匕 +c)2=/+/+2(ab +b c +ac)；(。+b)3 =/+2 a2b +3 ab 2 +h3；(a-b Y=/-3/+-。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。例 1 计算：(X+1)(%

6、-1)(X2-X+1)(X2+X+1)o解法1 ：原式二(%2 1)(X?+1)尤 之 二(X2 1)(X4+X2+1)=%6-1 o解法二：原式二(%+1)(%2 一%+1)(一 一 1)(72+x+1)=(X3+1)(X3-1)=X6-1 o例2 a +c =4,ab+b c+ac =4,求 a,+/+c?的值。5 ：Q+h +c =(Q+Z?+c)2(QZ?+b e+Q C)=8 0练习：1.填空：-a2-b2=(-b +-a)()；9 4 2 3(2)(4m-b =16/+4加+()；(3)(a+2 b-c)2=a2+4 Z?2+c2+()02.选择题：11)假设f+Lnr+k是一个完全平方式，那么左等于()2A、m2 B、m2 C、nr D -n V4 3 16(2)不管a,。为何实数，4+一2。一4 b+8的 值()A、总是正数 B、总是负数 C、可以是零 D、可以是正数也可以是负数1.1.2 分式1.分式的意义：形如些的式子，假设8中含有字母，且8/0,那么称&为分式。B B当，狂o时，分式4具有以下根本性质：4=公 竺；4=41竺。B B BxM B BMa2.繁分式：

7、像一白 一，空 誓 这 样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。c+d 2/77+P例1假设-=4+上，求常数A 8的值。x（x+2）x x+2.A B A(x +2)+Bx (A+3)x +2A 5 x +4 .A+8 =5,-1-=-=-=-,.x x +2 x(x +2)x(x +2)x(x +2)12A=4,解 得 七:例 2(1)试证：一-=-一(+1)n +1（其中是正整数）；（2）计算：1x 2 2x 3 9 x 10(1)证明：-一!一=%止=1,=工-二 一(其中是正整数)成立。n +1 (+1)(+1)(+1)n n +1解：由 (1)可知-1-F-I-=(1)+(-)+(-)=1-=1x 2 2x 3 9 x 10 2 2 3 9 10 10 10练 习:1.对任意的正整数，一1=一（-）;（+2）n +22.计算:1 1 1 1-1-1 F H1x 3 2x 4 3x 5-9 x 111.2 分解因式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法。1、提取公因式法例 1 分解因式：a2(b-5)+a(5-b

8、)(2)x3+9+3x2+3%解:(1)a2(b-5)+a(5-b)=a2(b-5)-a(b-5)=a(b-5)(a-1)(2)?+9+3X2+3X=(X3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(A:+3)=(X+3)(X2+3)O或 x3+9+3*+3x=(V+3/+3x+l)+8=(x+l)3+8=(x+1)3+23=(x+l)+2(x+l)2-(x+l)x2+22 =(x+3)(x2+3)练习：一、填空题：1、多项式6/y-2孙2+4孙z中各项的公因式是 o2、m(x-y)+n(y-x)=(x y)。3、m(x-y)2+n(y-x)2=(x-y)2。4、m(x-y-z)+n(y+z x)-(x-y z)*。5、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z),。6、-13ab2x6-39a3b2x5 分解因式得。7.计算99?+99=二、判断题：(正确的打上“J”,错误的打上 X )1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=m(a+b)()3、-3丁+6x?-15x=-3x(x?+2x-5)()4、x+x=x-1(x+1)()2、公式法例 2 分解因式：(

9、1)-a4+16(2)(3x+2y)J(x-解：(1)-4+16=42-(2)2=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+)(2-a)(2)(3x+2y)2-(x-J=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)练习一、a2-2ab+b2,a2-b2,浮一03 的公因式是。二、判断题：(正确的打上“J ,错误的打上 X )1、/一0.0 1=)(0.1)2 =&+0.山*0.1()2、9a2-862=(34)2 (48)2=(3a+4b)(3a 4/?)()3、25/一 166=(5a+46)(5a-46)()4、-x2-y2=-(x2-y2)-(x+y)(x-y)()5、-0 +0)2=(Q+C)(Q_ 0+C)()五、把以下各式分解1、-9(m -H)2+(m +H)2 2、3 x2-3、4-(X2-4X+2)T4、X4-2X2+13、分组分解法例 3 分解因式：(1)x2-xy +3 y-3 x(2)2 x2+xy-y2-4 x +5 y-6 o解：(1)x1 xy +3 y 3 x=(x2-x y)+(3y-3x)=x (x-y)-3(x-y)=

10、(x-y)*(x-3)或/一；Q，+3y 3x =(x?-3x)+(-9+3y)=x (x-3)-y (x-3)=(x-3)(x-y)(2)2 x2-xy-y2-4 x +5 y-6=2x2+(y-4)x-2+5 y-6=2x2+(y _ 4)x _(y-2)(y _ 3)=(2x-y +2)(x+y-3)。或 2/+xy _y2 _ 4 x +5 y-6=(212+x y-y2)-(4 x-5 y)-6=(2x-y)(%+)-(4%-5 y)-6=(2x y +2)(x +y 3)0练习：用分组分解法分解多项式(1)X2-y2+a-b +2 ax+2 b y(2)a2-4ab +4b2-6a+l2 b +94、十字相乘法例 4分解因式：(1)x2 3x +2；(2)x2+4 x 12；(3)x2-(a+b)xy +ab y2；14)xy-+x-y o解：(1)如图1.1-1,将二次项V 分解成图中的两个”的积，再将常数项2 分解成一1与一2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是f3 x+2 中的一次项，所以，有/3x +2=(x 1)(x2)o图 1.1-1 图 1

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