数学人教版八年级上册1、 两点两线两侧问题：.doc

1、 两点两线两侧问题： 问题2：（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直师：这是个实际问题，你能将其转化成数学问题吗？生：我们将图中的A地和B地看成两个点A和点B，河的两岸看成两条平行线，那么这个问题就可以转化成数学问题了师：很好！这个问题我们可以称其为“两点两线两侧”问题那么如何求解呢？学生讨论，教师巡视，适时点拨师：有谁可以说说思路吗？生1：如果能将直线a和直线b移到一起就好作图了生2：平移是个好方法，但直线是无限延伸的，是否可以不定方向去移动呢？生3：我也同意平移，但移动的目的是使两直线重合，也就是河宽为零，桥长为零，即端点M要与端点N重合才可以生4：所以，移动要定方向，而且移动时点A相对直线a的位置也要跟着变化生5：我们可以将点A和直线a看成整体一道沿着与河岸垂直的方向移动一个河宽，这样就可以将“两点两线两侧”问题转化成“两点一线两侧”的问题了师：大家说的非常好！那么具体如何操作，还请同学们研究研究生：作法：1、将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′使AA′等于河宽，2、连接A′B交河岸b于点N, 则点N为建桥MN的位置，此时路径AM+MN+BN最短。

师：非常棒！这个问题解决了，那么可以证明方法的正确性吗？生：可以我们可以另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′桥建在MN处时：AM+MN+NB=AA′+A′N+NB=AA′+A′B桥建在M′N′处时：AM′+M′N′+N′B=AA′+A′N′+N′B由于A′B< A′N′+N′B所以AA′+A′B< AA′+A′N′+N′B所以AM+MN+NB< AM′+M′N′+N′B即桥建在MN处获得的路径最短，符合题意师：非常好！问题归纳：师生：从问题2的提出到解决，我们经历了如下过程：实际问题的解 数学问题（两点两线两侧问题）数学问题的解 联想旧知（两点一线两侧问题）。