布朗运动及随机分析.pdf

布布布朗朗朗运运运动动动及及及随随随机机机分分分析析析张骅月南开大学经济学院金融系Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose1• 基本定义• 马氏性与反射原则• 鞅与首中时• 离散时间的期权定价• B − S 公式Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose2Background布朗运动（Brownian motion简写为BM）一类具有连续时间与连续轨道的最基本，最简单同时又是重要的的随机过程数学上，他是三类随即过程的交叉：它是一个高斯过程，具有 连续轨道的Markov过程，独立增量过程从实践角度考虑，BM经常被用作物理，生物，管理科学及经济现象的模拟Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose3基基基本本本定定定义义义:一、随机过程 {B(t),t ≥ 0} 称为BM或Wiener过程，若：1.B(0) = 02.B(t) 为平稳独立增量过程3.对任意的 t > 0, B(t) ∼ N(0,σ2t)4.t → B(t) 是连续的如果 B(t) ∼ N(µt,σ2t)，则称 B(t) 为有漂移的BM，µ 为漂移参数。

对Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose4于BMB(t)，如果 σ2= 1， 称为标准BM如果 σ2, 1,B(t)σ是标准BM运动BM是Gauss过程，均值函数为0，协方差函数C(s,t) = EB(s)B(t) = σ2min(s,t)，而且它还是Markov过程二、随机过程 {B(t),t ≥ 0} 称为BM,若:1.B(0) = 02.B(t) 为独立增量过程3.对任意的 t > s > 0, B(t) − B(s) ∼ N(0,σ2(t − s))4.t → B(t) 是连续的Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose5定定定理理理：定义一 ⇔ 定义二注意：在上述两个定义中，我们强调 B(0) = 0，但是，事实上，BM可以从任何一点开始，即 Bx(t) 表示起始于x点的BM由于BM具有空间齐次性的特点(即有限维分布是空间平移不变的)，所以我们只需要研究 开始于0点的BM作为一物理现象，BM由英国植物学家Brown于1827年发现著名物理学家Einstein在1905年首次从 物理的角度给出BM的一个解释。

设 B(t) 表示一个粒子在BM中 x 方向的位移， 由于BM的转移是平稳的，不依赖于起始时刻，故不妨假设初始时刻的位置为 x0，即X(0) = x0， p(x,t|x0) 表示在 X(0) = x0的条件下 X(t) 的条件概率密度，Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose6Einstein从物理的原理证明 p(x,t|x0) 满足一个扩散方程∂p∂t= D∂2p∂x2在一般条件下上方程的唯一解为p(x,t|x0) =1√2π(2D)texp{−1(2D)2t(x − x0)2}Wiener在他1918年博士论文中以及后续文章中给出BM的精确数学描述，并进一步研究了BM的轨道性质以下不特别指明所说的BM是指标准的BM，即 σ2= 1Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose7定定定理理理：设 B(t) 是标准BM，任给定 n 个时刻 0 < t1< t2···tn,，若用ft1t2···tn(x1, x2··· xn) 记 (B(t1), B(t2),··· , B(tn)) 的联合分布密度，则ft1t2···tn(x1, x2··· xn) = pt1(x1)pt2−t1(x2− x1)··· ptn−tn−1(xn− xn−1)其中 pt(x) =1√2πte−x22t. 由上述定理，我们知道BM的联合分布为 n 维正态分布，所以BM为正态过程(随机过程 {X(t),t ∈ T}, 若对任意的ti∈ T,i = 1,2,...,n,X(t1),X(t2),...,X(tn) 的联合分布为 n 维正态分布，则称 {X(t),t ∈ T} 为正态过程)，并有：定定定理理理：设 {B(t),t ≥ 0} 是正态过程，轨道连续，B(0) = 0,∀s,t > 0, 有EB(t) = 0,E[B(t)B(s) = t ∧ s], 则 {B(t),t ≥ 0} 是BM，反之亦然。

Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose8由此定理我们得到判断一个正态过程是否为BM的充要条件从而我们能得出一系列很有用的结论定定定理理理：设 {B(t),t ≥ 0} 是标准BM，则：1.B1(t) = −B(t),t ≥ 0(对称)2.（逆时间）B2(t) =tB(1/t),t > 00,t = 0Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose93.B3(t) = cB(t/c2),任意固定的 c > 0,(刻度不变)4.B4(t) = B(t + h) − B(t), 任意固定的 h > 0,(平移不变)仍然是标准BM.定定定义义义：(B1(t),··· , Bn(t)) 被称作标准的 n 维BM，如果 B1(t),··· , Bn(t)都是独立的标准一维BM(σ2= 1).BM的的的性性性质质质性质1：BM的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的任意一点，其导数都不存在；而且在任何区间上 都不是单调的，但是Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose10无限变差的；对于任何 t, BMB(t) 在 [0,t] 上的二次变差等于 t.6.2 BM的的的鞅鞅鞅性性性定理：设 {B(t),t ≥ 0} 为BM，则1.{B(t),t ≥ 0},2.{B2(t) − t,t ≥ 0},3.{eλB(t)−12λ2t,t ≥ 0},都是鞅。

判断3是否为一致可积鞅)Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose11注意：2是BM的一个典型特征，即如果连续鞅 {X(t)} 使得 {X2(t) − t}也是鞅，则 {X(t)} 是BM.另外，若一初值为0的鞅，有连续路径且满足在任何时刻 t 的二次变差均为 t,则其为BMEmail: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose122.首首首中中中时时时与与与极极极大大大值值值令Ta= inf{t : t > 0, B(t) = a}表示BM首中a的时间，到底 P(Ta≤ t) 有多大呢？？？ 注意到：P(B(t) ≥ a) = P(B(t) ≥ a|Ta≤ t)P(Ta≤ t) + P(B(t) ≥ a|Ta> t)P(Ta> t)显然 P(B(t) ≥ a|Ta> t) = 0, 由BM的对称性可得P(B(t) ≥ a|Ta≤ t) = P(B(t) < a|Ta≤ t) = 1/2Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose13所以P(Ta≤ t) = 2P(B(t) ≥ a)于是，当 a > 0 时，有P(Ta≤ t)=2√2πtZ+∞ae−u22tdu=r2πZ+∞a√te−x22dx=2(1 − Φ(a√t))当 a < 0 时，由BM的对称性，我们有 P(T−a≤ t) = P(Ta≤ t),所以对任Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose14意的a,有P(Ta≤ t) = 2(1 − Φ(|a|√t))令 t → ∞,我们有 P(Ta< ∞) = 1, 即 Ta几乎处处有限,但是 ETa= ∞.注注注意意意：根据BM的空间齐次性,始于 a 点的BM与 {a + B(t)} 是相同的，所以Pa{Tx< ∞} = P0{Tx−a< ∞} = 1,即BM从任意一点出发击中 x 的概率都是1。

BM首首首出出出区区区间间间定定定理理理:设 a < x < b,τ = Ta∧ Tb,然后 Px(τ < ∞) = 1, 且Exτ < ∞Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose15令M(t) = max0≤s≤t{B(s)}m(t) = min0≤s≤t{B(s)}分别表示BM在 [0,t] 上的最大值和最小值，M(t),m(t) 的分布如何呢？？？注意到{Ta≤ t} = {M(t) ≥ a}定定定理理理：：：对于任意的 x < 0,P(m(t) ≤ x) = 2P(B(t) ≥ −x) = 2P(B(t) ≤ x)Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose16Proof:P(m(t) ≤ x)=P(max0≤s≤t{−B(s)} ≥ −x)=2P(−B(t) ≥ −x)=2P(B(t) ≥ −x)=2P(B(t) ≤ x)???T 是BM在 [0,1] 上达到最大值的时间，判断 T 是否为一个停时Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose17定定定理理理：：：设 Bx(t) 为开始于 x 点的BM，则 Bx(t) 在 (0,t) 中至少有一个零点的 概率为|x|√2πZt0u−32e−x22uduProof:如果 x < 0, 则由 Bx(t) 的连续性得到P{(Bx)3 (0,t)Φk”:} = P{max0≤s≤tBx(s) ≥ 0}因为 Bx(t) = B(t) + x, 有P{max0≤s≤tBx(s) ≥ 0}=P(max0≤s≤t{B(s) + x ≥ 0}) = P(max0≤s≤t{B(s)} ≥ −x)=2P(B(t) ≥ −x)Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose18对于 x > 0 的情况，我们只需要知道BM的最小值的分布即可。

于是，我们得到定定定理理理：：：设BMBy(t) 在 (t1,t2) 中至少有一个零点的 概率为2πarccosrt1t2反反反正正正弦弦弦律律律：：：设 By(t) 为BM，则 By(t) 在 (t1,t2) 中没有零点的 概率为2πarcsinrt1t2该定律揭示了上述概率仅与时间区间端点的比值有关Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose19令Lt= max{s ≤ t, B(s) = 0}lt= min{s ≥ t, B(s) = 0}分别为BM在时刻 t 之前的最后一个零点和 t 之后的第一个零点判断 Lt,lt是否为停时),试求 P(Lt≤ x),P(lt≥ y),P(Lt≤ x,lt≥ y)P(Lt≤ x) = p{B has no zero point in (x,t)} =2πarcsinrxtP(Lt≤ x,lt≥ y) = p{B has no zero point in (x,y)} =2πarcsinrxyEmail: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose20BM的的的几几几种种种变变变化化化:1.Brown桥定义B∗(t) = B(t) − tB(1),0 ≤ t ≤ 1性质：1.B∗(t) 是Gauss过程；2.E[B∗(t)] = 0,E[B∗(t)B∗(s)] = s(1 − t),∀0 ≤ s ≤ t ≤ 1Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose212.在原点反射的BM定义X(t) = |B(t)|,0 ≤ t当 x > 0 时，概率分布为P{X(t) ≤ x}=P{B(t) ≤ x} − P{B(t) ≤ −x}=2P{B(t) ≤ x} − 1当 x < 0 时,P{X(t) ≤ x} = 0,其数字特征：1.X(t) 均值是 EX(t) =q2tπ,VarY(t) = t −2tπEmail: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose223.几何BM定义X(t) = eB(t),t ≥ 0其数字特征：1.X(t) 均值是 EX(t) = EeB(t)= et/2,2.VarX(t) = e2t− etEmail: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose234.积分BM定义X(t) =Zt0B(s)ds,t ≥ 0性质：1.X(t) 是Gauss过程，但不是Markov过程；2.E[X(t)] = 0,3.E[X(t)X(s)] = s2(t2−s6)Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose245.带有吸收值的BMX(t) =B(t),t < Txx,t ≥ TxX(t) 是混合型随机变量，不妨假设 x > 0, 计算 P(X(t) ≤ y)???当 y > x 时,P(X(t) ≤ y) = 1;当 y = x 时,P(X(t) = x) = P(Tx≤ t) =2√2πtR∞xe−u22tdu;Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose25当 y < x 时,从事件的等价关系着手：(X(t) ≤ y) = (B(t) ≤ y,max0≤s≤tB(s) < x),P(X(t) ≤ y) = P(B(t) ≤ y) − P(B(t) ≤ y,max0≤s≤tB(s) ≥ x).P(B(t) ≤ y,max0≤s≤tB(s) ≥ x)=P(B(t) ≤ y|max0≤s≤tB(s) ≥ x)P(max0≤s≤tB(s) ≥ x)=P(B(t) ≥ 2x − y|max0≤s≤tB(s) ≥ x)P(max0≤s≤tB(s) ≥ x)=P(B(t) ≥ 2x − y,max0≤s≤tB(s) ≥ x)=P(B(t) ≥ 2x − y)Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose26P(X(t) ≤ y)=P(B(t) ≤ y) − P(B(t) ≥ 2x − y)=P(B(t) ≤ y) − P(B(t) ≥ y − 2x)=1√2πtZyy−2xe−u22tduEmail: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose276.带漂移的BM定义X(t) = µt + σB(t),t ≥ 0定定定理理理：设 X(t) = µt + σB(t),t ≥ 0 为漂移系数为 µ 的BM，对a,b > 0,−b < x < a,Ta= min{t : t > 0,X(t) = a},T−b= min{t : t >0,X(t) = −b} 有P(Ta< T−b< ∞|X(0) = x) =e2µb− e−2µxe2µb− e−2µaEmail: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose28推推推论论论：设 X(t) = µt + σB(t),t ≥ 0 为漂移系数为 µ 的BM,若 µ < 0, 则P{max0≤t<∞X(t) ≥ a|X(0) = 0} = e2µaEmail: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose29B − S 公式:股票价格S(t) = X(0) ˙exp(µt + σB(t))计算欧式看涨期权 (ST− K)+的公平价格????其中 µ 是股票的指数增长率，σ 是他的波动率,r 是无风险利率是常数 于是，股票价格的折现过程e−rtS(t) = X(0) ˙exp((µ − r)t + σB(t))Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose30如果 µ = r − σ2/2, 然后 e−rtS(t) 是一个鞅.E(e−rt(ST− K)+) = e−rtZ∞log(KX(0))(X(0)ey− K)1√2πσ2te−(y−µt)2/2σ2tdy变量替换 y = µt + zσ√t, 然后上式= e−rtX(0)eµt1√2πZ∞αezσ√te−z2/2dz − e−rtK1√2πZ∞αe−z2/2dz(1)其中 α = (log(K/X(0)) − µt)/σ√t.1√2πZ∞αezσ√te−z2/2dz=etσ2/2Z∞α1√2πe−(z−σ√t)2/2dz=etσ2/2P(N(σ√t,1) > α)Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose31注意到：P(N(σ√t,1) > α)=P(χ > α − σ√t)=P(χ ≤ σ√t − α) = Φ(σ√t − α)于是(1)式等于e−rtX(0)eµteσ2t/2Φ(σ√t − α) − e−rtKΦ(−α)定定定理理理：欧式看涨期权 (ST− K)+的公平价格是X0Φ(σ√t − α) − e−rtKΦ(−α),Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose32其中 α = {log(K/X(0)eµt)}/σ√t,µ = r − σ2/2.Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose33Thank You Very Much!Email: hyzhang69@FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose34。