2002农科数学试卷.pdf

FREEKAOYAN2002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学四试题详解及评析经济数学四试题详解及评析 一、填空题填空题 （1）设常数1,2a ≠则 21limln[](12 )nnnna na→∞−+ −= . 【答答】 1 1 2a−【详解详解】 因为21lim[](1 2 )nnnna na→∞−+ −=11(1 2 )1 21 21lim[1](12 )naaanena−−−→∞+=−i所以 1 1 2211limln[]ln(12 )12nannnaenaa−→∞−+==−−. （2）已知( )f x的一个原函数为2ln x，则'( )xfx dx =∫. 【答答】 22lnlnxxC−+ 【详解详解】 由题设 ( )f x＝22ln(ln)'xxx=，根据分布积分有 '( )( )( )( )xfx dxxdf xxf xf x dx==−∫∫∫222lnln2lnln.xxCxxCx=−+=−+ (3)设矩阵211,3223−⎛⎞==−+⎜⎟⎝⎠ABAAE，则1−B= . 【答答】 102 11⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟−−⎝⎠【详解详解】 232=−+BAAE211112132232320−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠E， 所以 11121010122022211−−⎛⎞−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠−−⎝⎠B （4）设向量组123( ,0, ),( , ,0),(0, , )acb ca b===α ααααα线性无关,则, ,a b c必须满足关【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p ://BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 1／13页FREEKAOYAN系式 . 【答答】 0abc ≠ 【详解详解】 三个三维向量1α α2α α3α α线性无关的充要条件是行列式 ()1230,,020,0TTTabcaabccb==≠αααααα 即0abc ≠ （5）设随机变量,X Y的联合概率密度分布为 Y X －1 0 1 0 1 0．07 0.18 0.15 0．08 0.32 0.20 则,X Y的相关系数ρ= . 【答答】 0 【详解详解】 由题设，有 01101,,0.40.60.150.50.35XY−⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∼∼ 于是()0.6,( )1 0.150 0.5 1 0.350.2,E XE Y== − ×+ ×+ ×= 又,X Y的分布规律为 XY -1 0 1 P 0.08 0.72 0.20 于是()1 0.080 0.72 1 0.200.12E XY= − ×+ ×+ ×=， 从而(, )(, )()( )0.120.6 0.20Cov X YE X YE XE Y=−=−×=i， P 【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p ://BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 2／13页FREEKAOYAN故相关系数ρ＝(, )0.()( )Cov X Y D XD Y= 二、选择题二、选择题 （1）设函数( )f x在闭区间[ , ]a b上有定义,在开区间( , )a b上可导,则 (A) 当( ) ( )0f a f b>==⎨⎨≤≤⎩⎩但3122,0( )( ),0,0xexf x fxx−⎧>=⎨≤⎩不能作为某一随机的概率密度,可排除(D); 12()()1 121,FF+∞ ++∞ = + =≠可排除(C). 【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p ://BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 4／13页FREEKAOYAN故(B)为正确选项. （5） 设随机变量12,,nXXX…相互独立分布,12,nnSXXX=+++?则根据列维—林德柏格(Levy-Lindberng)中心极限定理,当n充分大,nS近似服从正态分布,只要12,,nXXX… (A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差. (C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布. 【答答】 [C ] 【详解详解】根据列维—林德柏格定理的条件,要求12,,nXXX…独立分布,且()iE X与()iD X均存在,(A)(B)两项不能保证同分布,可排除;(D)项服从同一离散项分布,但不能保证,iiEX DX存在,也可排除;只有(C)为正确选项. 三三 、、 （本题满分 8 分） 求极限2000[arctan(1)] lim(1 cos )xuxt dt duxx→+−∫ ∫【详解详解】 方法一: 200000[arctan(1)]arctan(1) limlim(1 cos )1 cossinxuxxxt dt dut dtxxxxx→→++ =−−+∫ ∫∫2 20002 arctan(1)1lim2limarctan(1)lim2sinsinsincoscosxxxxxxxxxxxxx→→→+==++++124 36ππ==ii 方法二: 220000 300[arctan(1)][arctan(1) ] lim2lim(1 cos )xuxuxxt dt dut dt duxxx→→++ =−∫ ∫∫ ∫2 2 0 200arctan(1)2arctan(1)2lim2lim36xxxt dtx xx→→++==∫2.3 46ππ==i 【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p ://BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 5／13页FREEKAOYAN四四 、、 （本题满分 8 分） 设函数( , , )uf x y z=有连续偏导数,且( , )zz x y=由方程xyzxeyeze−=所确定,求du 【详解详解 1】 设( , , ),xyzF x y zxeyeze=−−则 '''(1),(1),(1).xyz xyzFxe FyeFze=+= −+= −+ 故 ''11,'1'1yx zy zxzzFFzxzyeexFzyFz−−∂+∂+= −== −=∂+∂+， 而 ''''1,1x z xzxzuzxffffeyxz−∂∂+=+=+∂∂+''''1,1y z yzyzuzyffffeyyz−∂∂+=+=+∂∂+所以''''11()().11x zy z xzyzuuxydudxdyffedxffedyxyzz−−∂∂++=+=+++∂∂++【详解详解 2】 在xxzxeyeze−=两边微分,得 ,xxyyzze dxxe dxe dyye dye dzze dz+−−=+ 故 (1)(1).(1)xyzx e dxy e dydzz e+−+=+由( , , ),uf x y z=得 ''',xyzduf dxf dyf dz=++ 故 ''''11()().11x zy z xzyzxyduffedx ffedyzz−−++=++++五五 、、 （本题满分 8 分） 设2(sin),sinxfxx=求( )1xf x dxx−∫【详解详解】 令2sin,ux=，则有 【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p ://BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 6／13页FREEKAOYANarcsinsin,arcsin,( ),xxu xu f xx===.于是 arcsin( )11xxf x dxdxxx=−−∫∫arcsin(1)2 arcsin11xdxxdxx= −−= −−−∫∫12 1arcsin211xxxdxx= −−+−−∫2 1arcsin2.xxxC= −−++ 六、六、 （本题满分 9 分） 设闭区域22:,0. ( , )D xyy xf x y+≤≥为D上的连续函数,且 228( , )1( , ),Df x yxyf u v dudvπ=−−−∫∫求( , )f x y 【详解详解】 设( , ),Df u v dudvA=∫∫在已知等式两边求区域 D 上的二重积分,有 228( , )1,DDDAf x y dxdyxy dxdydxdyπ=−−−∫∫∫∫∫∫从而 221.DAxy dxdyA=−−−∫∫【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p ://BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 7／13页FREEKAOYAN所以 sin2322 00011221(1 cos)().33 23Adrrdrdππθπθθθ=−=−=−∫∫∫i 故 12().6 23Aπ=− 于是 2242( , )1().323f x yxyπ π=−−−− 七、七、 （本题满分 9 分） 设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数:( ) p=,其需求弹性2220192p pη=>−. (1) 设R为总收益函数,证明(1).dRQdpη=− (2) 求6p=时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义. 【详解详解】 (1)( )( ).R ppQ p= 上式两边对p求导,得 (1)(1).dRdQp dRQpdpdpQ dpη=+=+=− (2) (1)ERp dRpQEpR dppQη==− 22222192311192192pp ppη−= −= −=−−22 61923 670.54.192613pER Ep=− ×==≈−经济意义:当6p=时,若价格上涨 1%,则总收益将增加 0.54%. 八、八、 （本题满分 8 分） 设函数( ), ( )[ , ]f x g xa b在上连续,且( )0,g x >利用闭区间上连续函数得性质,证明存在一点[ , ],a bξ∈使 ( ) ( )( )( ).bbaaf x g x dxfg x dxξ=∫∫【免费考研网制作PDF版本Fr e e Ka o y a n .Co m 】免费考研论坛Ht t p ://BBS.Fr e e Ka o Ya n .Co m第 8／13页FREEKAOYAN【详解详解】因为( ), ( )[ , ]f x g xa b在上连续, 且( )0,g x >,由最值定理,知( )f x在[ , ]a b上有最大值M和最小值m,即 ( ),mf xM≤≤ 故 ( )( ) ( )( ).mg xf x g xMg x≤≤ ( )( ) ( )( ),bbbaaamg x dxf x g x dxMg x dx≤≤∫∫∫( ) ( )( )ba baf x g x dx mM g x dx≤≤∫ ∫. 由介值定理知,存在[ , ],a bξ∈使 ( ) ( ) ( ) ( )ba baf x g x dx f g x dxξ=∫ ∫, 即 ( ) ( )( )( ).bbaaf x g x dxfg x dxξ=∫∫九、九、 （本题满分 13 分） 设四元齐次方程组(I)为 123123423020xxxxxxx+−=⎧ ⎨++−=⎩且已知另一四元齐次线性方程组(II)的一个基础解系为 1(2, 1,2,1) ,( 1,2,4,8) .TTaa2=−+= −+αααα (1) 求方程组(I)的一个基础解系; (2)当a为何值时,方程组(I)与(II)有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解. 【详解详解】 方法一： (1) 对方程组（I）的系数矩阵作行初等变换,有. 23101053.12110132A−−⎛⎞⎛⎞=→⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠得。