利用泰勒展开式判别函数单调性.doc

1利用泰勒展开式判别函数单调性梁兆健梁兆健（江苏 南京）摘要：针对一类特殊的分式函数，用泰勒展开式给出了判别此类函数单调性的新方法关键词：泰勒展开式；函数单调性一、问题的提出参考文献[1]中提出：当时，存在正数使得，并问常01xc222111xxecxxe 数的最佳取值是多少？原作者将此问题作为一个悬而未决的问题提出c若令，问题便转化为寻求函数的上确界.通过 2211xxef xxe 01x f x计算机作图模拟，不难看出是单调减的，但若试图直接对函数求导来证明其单调性，会 f x发现判断其导数的正负符号并不轻松. 下面针对这类特殊的函数，探讨判别其单调性的特殊方法.二、单调性的判定定理首先给出一个推广形式的排序不等式：引理引理（排序不等式） 设是上若干个不相交的对换之积，并设1,2,,nL，，，则12nL1212nnaaa bbbL 01,2,kkb bknL．   11nnkkkkkk kka bab证明：记，，由题意知，  1nkkk kAa b  1nkkk kBab kk 1,2,knL则，，   1nkkk kAab   1nkkk kBa b2从而       111122nnnnkkkkkkkkkkkk kkkkABa bababa b，    1nkk kkkk kkkaab bbb  依题意，与同号，所以． □ kk  kkkkaa bbAB显然，若，其余条件不变，则不等式改变方向．1212nnaaa bbbL定理定理 设，，并且ka0kb 0,1,2,k L，012012nnaaaa bbbbLL其中不全相等，级数和在内闭一致收敛，则函012012,,,,,nnaaaa bbbbLL0k k ka x 0k k kb x0,1数 2 0012 2 0120k k kk k ka xaa xa xf xbb xb xb x L L在区间内严格单调增．0,1证明：记，，则 0k k kxa x 0k k kxb x，         2xxxxfxx 记，则      2 012 0k k kxxxxc xcc xc xL，1111111 001 11111nnnnnknknkkknknkknn kkkkcka bkabka bkabnaba b     在引理中取，（） ，得kk 1knk 1,2,knL，11 110nnknknkk kkka bkab   从而（） ，故在区间内单调增．0nc  0,1,2,n L f x0,1当不全相等时，存在正整数，使得当时有，从012012,,,,,nnaaaa bbbbLLNnN00nnaa bb而此时，故在区间内严格单调增． 0nc   f x0,13□显然，若且不全相等，其余条件不变，则在区间012012nnaaaa bbbbLL f x内严格单调减．0,1定理表明，函数的单调性与序列的单调性相一致. f x012012,,,,,nnaaaa bbbbLL三、应用举例首先回到文首提出的问题：例例 1 1 求函数的值域． 2211xxef xxe 01x解：先通分化简，有，  2222xxxxeexf xxee利用泰勒展开式，得， （令） 46824682222111 4!6!8!4!6!8! 222111 2!4!6!2!4!6!xxxtt f x xxxtt  LLLL2tx由定理易知关于 在区间内严格单调减，从而也关于在区间内严格单 f xt0,1x0,1调减．于是，，    01lim xff xf x  即． 1131 212eef xee再看一个例子：例例 2 2 判断函数在区间内的单调性，并证明下列不等式成立： 1 ln 1xef xx0,1.1ln 10011x xeexxx解：对分子分母同时泰勒展开，并化简得， 221112!3! 11123xx f x xx  LL取，，根据定理可知关于在区间内严格单调减．1 1 !kak1 1kbk f xx0,14根据单调性可得，整理后即得 001fxx.1ln 10011x xeexxx参考文献：[1] 匡继昌.常用不等式（第三版）.**出版社，200*年.。