突变理论研究重力坝的抗滑稳定安全性.pdf

- 1 -突变理论研究重力坝的抗滑稳定安全性突变理论研究重力坝的抗滑稳定安全性 陈桂 河海大学土木工程学院，江苏南京 (210098) E-mail:chengui83@ 摘摘 要：要：受施工条件的限制，重力坝的抗剪强度往往较低，坝体所受的水平推力也较大，因 此在设计中， 都要验算沿坝基面的抗滑稳定性 而大坝及基岩的结构失稳本身就是一种典型 的突变现象 本文建立了尖点突变模型对大坝的稳定性进行描述， 最后以向家坝重力坝为例， 进行建模分析，其结果与有限元强度折减法的结果一致 关键词：关键词：重力坝；抗滑稳定；突变理论；有限元法 1. 引言引言 对重力坝，由于坝体和岩体的接触面是两种材料的结合面，而且受施工条件的限制，其抗剪强度往往较低， 坝体所受的水平推力也较大 大坝工程建设是国民经济发展中一个非常重要的环节，坝的崩溃往往给人民生命财产安全和环境带来极严重的危害因此，在重力坝设计中，都要验算沿坝基面的抗滑稳定性，并必须满足规范中关于抗滑稳定安全度的要求 基岩上重力坝的失稳破坏可能有两种类型[1]： 一种是坝体沿抗剪能力不足的薄弱层面产生滑动， 包括沿坝与基岩接触面的滑动及沿坝基岩体内连续软弱结构面产生的深层滑动； 另一种是在荷载作用下， 上游坝踵以下岩体受拉产生倾斜裂缝以及下游坝趾岩体受压发生压碎区而引起倾倒滑移破坏。

2. 突变理论的基本概念突变理论的基本概念 突变理论[2-15]的创立者是法国数学家 R.Thom他于 1968 年发表的论文“生物学中的拓朴模型”和 1972 年出版的《结构稳定和形态发生学》[16]一书奠定了突变论的基础事实上，早在 1955 年，H.Whitney 就已建立了突变论的基础，他发现曲面到平面上的映射只可能有两种奇异性，即折叠和尖点[17]而 E.C.Zeeman 对突变理论的应用作了大量的工作[18]，也就是他将 Thom 的理论命名为“突变论”的 突变理论的基本概念包括：函数、欧几里得空间、欧式空间的线性映射、距离、微商、偏微商、临界点、结构稳定性、奇点集、分歧集等其中，临界点和结构稳定性是最重要的概念临界点有孤立和非孤立之分，又有非退化点与退化临界点之分，非退化点的临界点称为Morse 临界点，可以证明，非退化的临界点一定是孤立点，但反过来不成立结构稳定性问题可以看成结构或系统在小扰动下是否恢复原来的平衡位置， 其数学描述粗略地表示为： 在f 的临界点 U 处，如果对充分小的函数 P∈C∞，f+P 的临界点和 f 的临界点 U 类型相同，称f 在 U 附近是结构稳定的。

任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状态跃变（而不是渐变）到新的平衡状态时就发生了突变， 这个过程的全貌可通过一个光滑的平衡曲面来描述， 突变理论研究的就是描述这种突变过程的所有的可能的平衡曲面 千差万别的突变现象， 以它们的平衡曲面来分类，可以归结为若干基本的类型R.Thom 证明，如果控制空间的维数不超过4，则只有七种可能性的突变形式，这七种突变形式分别是折叠突变、尖点突变、燕尾突变、椭圆脐点突变、双曲脐点突变、蝴蝶突变及抛物脐点突变等，他们是拓扑稳定的，且和状态变量或广义坐标的个数无关在这七种突变形式中，最简单最有用的就是尖点突变模型（cusp-catastrophe model） - 2 -图 1 尖点突变模型的平衡曲面以及分岔集 Fig1 cusp-catastrophe model 系统的状态由参量来确定，参量可以分为两类：一类为状态变量，另一类为控制变量突变理论中应用最广泛的是尖点突变模型，具有两个控制变量 p、q 和一个状态变量 x，在由（x，p，q）构成的三维状态空间中，其势函数的标准形式为： qxpxxV++=24 21 41(1) 平衡曲面M（图 1）为所有平衡点的集合，平衡点应满足： 0)(3=++=′qpxxxV(2) M在（x, p, q）空间中为一具有褶皱的光滑曲面，具有突跳、双模态、滞后、发散及不可达五个特性。

突变点或奇点则既满足式（2）又满足式（3）： 032=+=′ ′pxV(3) 它们在控制变量 p-q 平面的投影就构成了分叉集 B联立方程（2）、（3）消去 x 即可得到形状为半立方抛物线的分叉集： 23274qp +=∆ (4) 平衡曲面方程（2）是一个典型的卡尔丹三次方程，其根的判别式为△＝4p3+27q2当△>0 时，有一个实根和两个复根，因此分叉集以外，包括 p>0 的半空间，对任意的（p, q）都只有一个平衡点，而且，该区域内 V″>0，根据弹性系统稳定性理论，这是一个稳定的平衡解；当△＝0，即满足式（4）时，有 3 个实根，若 x＝p＝q＝0（尖点处），有一个三重零根；若 4p3＝－27q2≠0（除尖点外的分叉集左右支），三个实根中有两个相同，即有两个平衡点，其中一个为稳定平衡，另一个是临界平衡；当△<0 时，有三个不同的实根，该区域的 V″<0，因此分叉集以内（图 1 中的阴影区）有三个平衡点，其中两个为稳定平衡，一个是不稳定平衡 由图 1 可知，表示系统状态的 P（x，p，q）点位于由方程（2）所确定的平衡曲面的上、下叶时，无论 p、q 沿什么路径，中叶总是不可达的。

相点 P 的位置由控制平面 p-q 中的一个点来表示，随着 p、q 的不断变化，P 沿着平衡曲面的一条轨迹移动，在不穿过分叉集时， B A′ B′ px q平衡曲面突变投影 奇点集ABB′A分岔集控制曲面 A′ - 3 -p、q 的平稳变化总是引起 x 的平稳变化（如轨迹 BB′）；当轨迹穿过分叉集时，如相点位于曲面折回的中叶（A’点），p、q 的微小变化，将会引起相点的突跳，跃到另一叶上，从而引起状态变量 x 的突变，即从临界平衡状态到达稳定平衡状态因此，尖点突变模型表现了由一个光滑势函数所控制的系统性态的不连续特性 3.例题例题 图 2 为向家坝重力坝 11＃坝段剖面 用强度折减法计算坝体失稳时的强度折减， 近似等于安全系数 由式（4）可以得到当折减系数 K 取 1.8 时，突变特征值△=1.366875e6 接近于零，坝体可能失稳 坝基岩体抗剪强度减小倍数 K 为 1.8 时屈服破坏的情况，可以看出，屈服区已经连通，此时坝体位移突然变大（图 3），因此，向家坝重力坝 11＃坝段的强度储备安全度为 1.8 Fig2 the 11st part of xiangjiaba gravity, K=1.8 Fig3 the horizontal displacement 采用有限元法计算与本文模型进行对比分析，以验证模型的适用性。

采用有限元强度系数折减法对该算例进行了分析 计算与前面采用相同的网格单元， 屈服准则选用 Drucker-Prager 准则，当 K=1.8 时计算已经不收敛，当 K=1.9 时塑性区范围已经较大因此安全系数为 1.8～1.9 两种结果比较分析表明，位移的突变模型与有限元强度折减法所得到的结果基本接近，这说明位移突变模型在评价重力坝抗滑稳定性时与目前常用的评价方法是基本一致的 4. 结论结论 重力坝的安全性非常重要， 而其滑动失稳是其主要破坏形态， 所以研究重力坝的抗滑稳定性有重要意义 其滑动失稳是一种典型的突变现象， 引进突变模型可以很好地分析其滑动失稳 图 2 向家坝重力坝 11 坝段基础破坏情况，K=1.8图3 11坝段水平位移 ~ K01234560.81.21.622.42.82722K 水平位移（cm） - 4 -参考文献参考文献 [1] 左东启,王世夏,林益才.水工建筑物[M].南京:河海大学出版社,1995. [2] 潘军校.重力坝的双斜面深层抗滑稳定研究[D].浙江大学,2006,2. [3] 李志.重力坝双斜面抗没稳定研究[D].天津大学,2005,12. [4] 朱双林.重力坝深浅层抗滑稳定分析方法探讨及其工程应用[D].武汉大学,2005,5. [5] 潘家铮.关于拦河坝的抗滑稳定安全度问题[J].水利水电技术,1981,5:38-44. [6] 龚召熊,陈进.大坝(基岩)稳定性计算方法的探讨[J].长江科学院院报,1988,1. [7] D.N.D.Hartford and G.B.Baecher, Risk and uncertainty in dam safety [M], London,, UK: Thomas Telford Ltd, 2004. [8] 陆晓敏,任青文.重力坝沿建基面抗滑稳定安全系数的研究[J],河海大学学报,1999,10(27),力学专 辑:134-137. [9] SHAO Guo-jian, ZHUO Jia-shou, ZHANG Qing. Research on analysis method and criterion of rockmassstability[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2003, 22(5): 691－696. [10]陈进,黄薇.混凝土重力坝抗滑稳定安全系数与安全度探讨[J].长江科学院院报,1995,12(3):1-7. [11] Zhang Guo-xin, Jin Feng, Wang Guang-lun, Seismic Failure Simulation of Gravity Dam by Manifold Based Singular Boundary Element Method, Engineering Mechanics, 2001, Vol. 18(4):18-27. [12] Ruan Mao-tian, Li Yong, Lin Gao, The Discontinuous Deformation Mechanics Model and Its Application in Static Analysis of Concrete Gravity Dam with Vertical Joints, JOURNALOFHYDRAULICENGINEERING, 2001, (4):40-46. [13] Arnold, V. I. Catastrophe theory[M]. Heideberg, Berlin: Springer Verlage, 1980. [14] 凌复华.突变理论及其应用.上海交通大学出版社,1987. [15] Poston Tim, Stewart Ian. Catastrophe Theory and its Application[M]. London: Pitman Publishing Limited, 1978,172-191. [16] Thom R. Stability Structure Morphologenese. Reading MA: Beniamin, 1972. [17] Whitney H. On Singularrities of eulidean Space. IMappings of the plane into the plane. Ann. of Mathm,1955,62(3):374-410. [18] Zeeman E C. Catastrophe theory. Scientific Amer.1976, 234(4):65-83. Researc。