力学量算符之间的对易关系.pdf

力学量算符之间的对易关系 力学量算符之间的对易关系 讨论微观态讨论微观态ψ中某一力学量时，总是以的本征质谱作为力学量的可能值若我们同时观测状态中某一力学量时，总是以的本征质谱作为力学量的可能值若我们同时观测状态F∧ FFψ中的一组不同力学量， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题主要内容有： 中的一组不同力学量， 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题主要内容有： L,,GF一个关系：力学量算符之间的对易关系 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理 三个定理 ⎪⎩⎪⎨⎧力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括1 算符之间的对易关系 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符与之和定义为 （1）算符之和：算符与之和定义为 ∧ F∧ G∧∧ +GF（1） （1） ψψψ∧∧∧∧ +=+GFGF)(ψ为任意函数一般，例如粒子的哈密顿算符为任意函数一般，例如粒子的哈密顿算符∧∧∧∧ +=+FGGF)()(22 rUTrUpH+=+=∧∧ ∧μ是动能算符是动能算符∧ T 与势能算符之和。

与势能算符之和 )(rU（2）算符之积：算符与之积定义为 （2）算符之积：算符与之积定义为 ∧ F∧ G（2） （2） )()(ψψ∧∧∧∧ =GFGF显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即 常记为 显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即 常记为 ∧∧∧∧ ≠FGGF（3） （3） ∧∧∧∧ ≠−0FGGFn个相同算符的积定义为算符的个相同算符的积定义为算符的n次幂 次幂 ∧ F∧ F例如 例如 dxdF =∧，则 ，则 22 2 dxdF=∧ ，，nn n dxdF=∧ 为了运算上的方便，引入量子括号 为了运算上的方便，引入量子括号 （5） （5） ∧∧∧∧∧∧ −=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡FGGFGF,若 （6） 若 （6） 0,≠⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∧∧ GF称算符与是不对易的（不能交换位置） ，即。

称算符与是不对易的（不能交换位置） ，即 ∧ F∧ G∧∧∧∧ ≠FGGF1若 （7） 若 （7） 0,=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∧∧ GF称算符与是对易的，即 称算符与是对易的，即 ∧ F∧ G∧∧∧∧ =FGGF下面几个经常使用的对易关系，请自行证明 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+−=∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧)11(],[],[],[)10(],[],[],[)9(],[],[],[)8(],[],[GMFMGFMGFMGFMFGMGFMFGFMGFFGGF1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易 坐标算符是乘数因子，相互对易 []0],[0],[0,===xzzyyx （12） （12） 动量算符是微分算符，因为 动量算符是微分算符，因为 xyyx∂∂∂=∂∂∂22，则 ，则 （13） （13） 0,0,0,=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧xzzyyxpppppp坐标算符与动量算符：设坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数 为任意函数 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−−=∂∂−=∂∂−=∧∧ψψψψψψxxiixxixpxxipxxxhhhh)(比较后可得 ，即 比较后可得 ，即 ψψψh ixppxxx=−∧∧（14a） （14a） h ipxx=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∧ ,但是 （14b） 但是 （14b） 0,0,=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∧∧zypxpx同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为 (14c) (14c) ijjiipxδh=⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∧ ,其中 其中 ),,() 3 , 2 , 1(zyxixi≡==),,() 3 , 2 , 1(∧∧∧∧ ≡=zyppjp※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此 导出。

※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此 导出 1.3 角动量算符的对易关系 1.3 角动量算符的对易关系 2(15) (15) ⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⎨⎧=−====−=−===∧∧∧∧∧∧∧∧∧0],[ ,],[ ,],[],[ , 0],[ ,],[],[ ,],[ , 0],[zLxiyLyixLxizLyLzixLyizLziyLxLzzzyyyxxxhhhhhh只证明其中一个，请注意证明方法 只证明其中一个，请注意证明方法 ziypzpyzypzpyyypyypzypyypzpyyLyyyzzyzyzxh=−=−−+=−=−=∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧],[],[],[],[],[],[],[],[],[记忆方法：从左至右以 记忆方法：从左至右以xzyx→→→依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零以相同的推导方法和记忆规律，有 依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零以相同的推导方法和记忆规律，有 （16） （16） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−====−=−===∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧0],[ ,],[ ,],[],[ , 0],[ ,],[],[ ,],[ , 0],[zzxyzyxzxzyyyzxyyzxzyxxxpLpipLpipLpipLpLpipLpipLpipLpLhhhhhh另外有 （17） 另外有 （17） ∧∧∧ =zyxLiLLh],[∧∧∧ =xzyLiLLh],[∧∧∧ =yxzLiLLh],[（18） （18） ∧∧∧ =×LiLLh1.4 几个重要的推论（请大家自行导出） 1.4 几个重要的推论（请大家自行导出） 0],[],[],[],[) 1 (2222=++=∧∧∧∧∧∧∧∧zzzyzxzLLLLLLLL（19） （19） ),,()3 , 2 , 1 (,0],[2zyxjLLj===∧∧（20） （20） 0],[,0],[,0],[)2(2222===∧∧∧∧∧∧ pLpLpLj（3）球坐标下是（3）球坐标下是∧ Lϕθ,的函数，若有径向函数算符，则 的函数，若有径向函数算符，则 )(rU（21） （21） 0)](,[,0)](,[2==∧∧ rULrUL0],[,0],[)4(22==∧∧ rLrLi （22） （22） 2 共同本征函数完备系 2 共同本征函数完备系 2.1 共同本征函数完备系带来算符对易 2.1 共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 设两个算符∧ F和有一个共同的本征函数和有一个共同的本征函数∧ Gnϕ， 则必有及， 即在， 则必有及， 即在nanFϕλϕ=∧nbnGϕλϕ=∧nϕ态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么 态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么 0)()(=−=−∧∧∧∧nbabanFGGFϕλλλλϕ3这似乎提醒我们有，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函数这似乎提醒我们有，但下结论过早，因为这只是针对某一个特殊函数（本征函数0)(=−∧∧∧∧ FGGFnϕ） ，如果） ，如果∧ F和有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数 和有一组完备的共同本征函数，对于任意态函数 ∧ G∑=nnncϕψ （23） （23） 有 则 有 则 0)()(=−=−∑∧∧∧∧∧∧∧∧n nnFGGFcFGGFϕψ（24） （24） 0],[0==−∧∧∧∧∧∧ GFFGGF或这时才说这时才说∧ F和是对易的。

这个结论可以推广到多个算符，即 和是对易的这个结论可以推广到多个算符，即 ∧ G如果一组算符有共同的本征函数完备系如果一组算符有共同的本征函数完备系nϕ，则这组算符对易 ，则这组算符对易 例如，，，即在例如，，，即在),() 1(),(22ϕθϕθlmmYllYLh+=∧ ),(),(ϕθϕθlmmzYmYLh=∧zLL∧∧ ,2),(ϕθlmY态中同时有确定值及，所以态中同时有确定值及，所以2) 1(h+llhm),(ϕθlmY是的共同的本征函数，并且是完备的，所以 是的共同的本征函数，并且是完备的，所以 zLL∧∧ ,20],[2=∧∧zLL2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同的本征函数 2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同的本征函数 这里仅就非简并本征函数系加以证明 这里仅就非简并本征函数系加以证明 若算符若算符∧ F和相互对易，对于和相互对易，对于∧ G∧ F的本征函数的本征函数nϕ，有 ，有 （25） （25） nnnFϕλϕ=∧而 （26） 而 （26） )()()(nnnnGFGGFϕλϕϕ∧∧∧∧∧ ==可见也是算符可见也是算符nGϕ∧∧F的属于本征值的属于本征值nλ的本征函数。

已经假定的本征函数已经假定nλ非简并，所以对应非简并，所以对应nλ的两个本征函数的两个本征函数nϕ和最多只能相差一个常数，所 和最多只能相差一个常数，所 nGϕ∧（27） （27） nnnGϕμϕ=∧可见，可见，nϕ同时也是的属于本征值同时也是的属于本征值∧ Gnμ的本征函数同理，对的本征函数同理，对∧ F。