2022年初中数学竞赛专题选讲待定系数法(含答案).docx

学习必备欢迎下载中学数学竞赛专题选讲（初三 .7）待定系数法一、内容提要1. 多项式恒等的定义： 设 f〔x〕 和 g〔x〕 是含相同变量 x 的两个多项式， f〔x〕 ≡ g〔x〕 表示这两个多项式恒等 .就是说 x 在取值范畴内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的 .符号“≡”读作“恒等于” ，也可以用等号表示恒等式 . 例如：（ x+3 ） 2=x2+6x+9, 5x2－ 6x+1=〔5x － 1〕〔x － 1〕,x 3－ 39x－ 70=〔x+2〕〔x+5〕〔x － 7〕.都是恒等式 .依据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值 . 例如： 已知：恒等式 ax2 +bx+c=2〔x+1〕〔x － 2〕.求：① a+b+c ； ②a－ b+c.解：①以 x=1 ， 代入等式的左右两边，得 a+b+c＝－ 4.②以 x=－1，代入等式的左右两边，得 a－ b+c ＝0.2. 恒等式的性质：假如两个多项式恒等，就左右两边同类项的系数相等 .即 假如 a0xn+a1xn－ 1+⋯⋯ +an－ 1x+an= b0xn+b 1xn－ 1+⋯⋯ +bn－ 1x+b n那么 a0=b0 ， a1=b1， ⋯⋯ ， an－ 1=b n－1 ， an=bn.+bx+c=2x上例中又解： ∵ ax2 2－ 2x－ 4.∴ a=2, b= －2, c=－4.∴ a+b+c＝－ 4， a－b+c ＝ 0.3. 待定系数法： 就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式， 然后依据恒等式定义和性质，确定待定系数的值 .二、例题例1. 已知：x2x〔xx 23〕〔 x 2〕A B Cx x 3 x 2求： A ， B， C 的值 .解：去分母，得 x2－ x+2=A〔x － 3〕〔x+2〕+Bx〔x+2〕+Cx〔x － 3〕.依据恒等式定义（挑选 x 的适当值，可直接求出 A， B， C 的值），1当 x=0 时， 2＝－ 6A. ∴A ＝－ .3当 x=3 时， 8＝ 15B. ∴B＝ 8 .15当 x=－ 2 时， 8＝ 10C. ∴ C＝ 4 .5此题也可以把等号右边的代数式， 整理成为关于 x 的二次三项式， 然后用恒等式性质： “左右两边同类项的系数相等” ，列出方程组来解 .（见下例） .例2. 把多项式 x 3－ x2+2x+2 表示为关于 x－ 1 的降幂排列形式 .解：用待定系数法：设 x3－ x2+2x+2=a〔x － 1〕3+b〔x － 1〕2+c〔x － 1〕+d把右边绽开，合并同类项（把同类项对齐） ，得 x － x3 2+2x+2=ax3 2－ 3ax+3ax －a+bx 2－ 2bx+b+cx－ c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，a 13a b 1得a 1b 2解这个方程组，得3a 2b c 2 c 3a b c d 2 d 4∴ x 3－ x2+2x+2=〔x － 1〕3+2〔x － 1〕2+3〔x － 1〕+4.此题也可用换元法：设 x－1=y, 那么 x=y+1.把左边关于 x 的多项式化为关于 y 的多项式，最终再把 y 换成 x － 1.例3. 已知： 4x4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方式 .求： a 和 b 的值.解：设 4x4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝（ 2x2+mx 1）2 （设待定的系数，要尽可能少 .） 右边绽开，合并同类项，得 4x4+ax 3+13x 2+bx+1 ＝ 4x4+4mx 3+〔m 2 4〕x2 2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得方程组a 4m m2 4b 2m13 ； 或a 4m m2 4b 2m13 .a 12 a解得 或12 a或4 17 a或－ 4 17.b 6 b 6b 2 17b 2 17例4. 推导一元三次方程根与系数的关系 .解：设方程 ax3+bx2+cx+d=0〔a ≠ 0〕的三个根分别为 x 1, x2, x 3.原方程化为 x 3+b x 2ac x d 0 .a a∵ x 1, x2, x 3 是方程的三个根 .∴ x 3+b x 2ac x da a〔x － x1) 〔x － x2) 〔x － x3〕.把右边绽开，合并同类项，得x 3+b x 2ac x da a=x 3－ 〔 x1+x2+x3〕x 2 +〔x1x2+x1x 3+x2x3〕x － x1x2x3.比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－b ， x 1x 2+x 1x3+x 2x 3＝ac ， x1 x2x3＝－ d .a a例5. 已知： x 3+px+q 能被（ x－ a）2 整除 .求证： 4p3+27q 2=0.证明：设 x3+px+q ＝（ x－ a）2（x+b ） .x 3+px+q=x 3 +〔b－ 2a〕x2+〔a 2－ 2ab〕x+a2b.b 2a 0①2a 2ab p②a 2b q③由①得 b=2a， 代入②和③得p 3a 2q 2a 3∴ 4p32＝ 4（－ 3a2） 3 3 26） +27 （ 4a6） =0. （证毕） .+27q+27〔2a 〕=4（－ 27a例6. 已知： f 〔x〕=x 2 +bx+c 是 g 〔x〕=x 4 +6x 2＋ 25 的因式，也是 q 〔x〕=3x 4+4x 2+28x+5 的因式 .求： f 〔1〕 的值 .解：∵ g 〔x〕,q 〔x〕 都能被 f 〔x〕 整除 ,它们的和、差、倍也能被 f 〔x〕 整除 .为了消去四次项，设 g 〔x〕 － q 〔x〕 ＝kf 〔x〕, 〔k 为正整数 〕.即 14x2－ 28x+70 ＝ k 〔x 2+bx+c〕 14（x2－ 2x+5 ）＝ k 〔x 2+bx+c〕∴ k=14, b=－2, c=5.即 f 〔x〕=x 2－ 2x+5.∴ f 〔1〕=4 .例7. 用待定系数法，求（ x+y ） 5 的绽开式解：∵绽开式是五次齐次对称式，∴可设（ x+y ） 5＝ a〔x5+y5〕+b〔x 4y+xy 4〕+c〔x 3y 2+x 2y3〕 〔a, b, c 是待定系数 .〕当 x=1,y=0 时， 得 a=1；当 x=1,y=1 时， 得 2a+2b+2c=32 ，即 a+b+c=16当 x=－ 1,y=2 时， 得 31a－ 14b+4c=1.得方程组a 1a b 31ac 1614b 4c 1解方程组，得a 1b 5c 10∴（ x+y） 5＝ x 5+5x 4y+10x 3y2+10x 2y 3+5xy 4+y 5.三、练习 512x 3 a b1. 已知 2x6x 82x 2 x. 求 a, b 的值.42. 已知：4x 3x 52〔 x 1〕 〔 x 2〕A B2x 1 〔x 1〕C. 求： A ， B， C 的值.x 2x 6x +13x3. 已知： 4— 3 2－ 12x+4 是完全平方式 .求：这个代数式的算术平方根 .4. 已知： ax3+bx 2+cx+d 能被 x2 +p 整除 .求证： ad=bc.5. 已知： － 9xx3 2+25x+13=a〔x+1〕〔x－ 2〕〔x － 3〕=b〔x － 1〕〔x － 2〕〔x － 3〕 =c〔x － 1〕〔x+1〕〔x － 3〕=d〔x － 1〕〔x+1〕〔x －2〕. 求： a+b+c+d 的值.6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理） .7. 用 x－ 2 的各次幂表示 3x3－ 10x2+13.8. k 取什么值时， kx 2－ 2xy － y 2+3x － 5y+2 能分解为两个一次因式 ..9. 分解因式：① x2+3xy+2y 24x+5y+3 ；② x4+1987x 2+1986x+1987.10. 求以下绽开式：① 〔x+y〕 6； ② 〔a+b+c〕 3.11. 多项式 x2y－ y2z+z2x－ x2z+y2x+z 2y－ 2xyz 因式分解的结果是 〔 〕〔A〕 〔x+y〕〔y － z〕〔x － z〕 . 〔B〕 〔x+y〕〔y+z〕〔x － z〕.〔C〕 〔x －y〕〔y － z〕〔x+z〕. 〔D〕 〔x － y〕〔y+z〕〔x+z〕.4 412. 已知〔 a+1〕 =a+4a3+6a2 4+4a+1, 如 S=〔x－ 1〕+4〔x－ 1〕3+6〔x －1〕2+4x－ 3.就 S 等于 〔 〕4 4 4 4〔A〕 〔x － 2〕 . 〔B〕 〔x －1〕 . 〔C〕 x . 〔D〕 〔x+1〕 .13． 已知：ax 32 x35 x 210x 2bx c 的值是恒为常数求： a, b, c 的值 .3 x 41. a=－7 11,b=－2 2参考答案2. A=1,B=2,C=33. 〔x2－ 3x+2〕4.由 〔x2+p〕〔ax+ d 〕⋯p5. 17. 3〔x －2〕3+8〔x － 2〕2－ 4〔x－ 2〕－ 38. 先整理为关于 x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法；〔x +x+1〕〔x9. ①〔x+y +1〕〔x+2y+3〕 ② 2 2 －x+1987〕10. ① x 6+6x 5y+15x 4 y2+20x 3y3+15x 2y 4+6xy 5+y 6.3② x +y3 3+z +3〔x2y+y2 2z+zx+x2z+y2x+z2y〕+6xyz.11. 〔A〕 12.〔C〕 13. a=1, b=1.5, c=－ 2.。